切线的证明与计算 解答题专题提升训练 2023 年九年级中考数学复习

切线的证明与计算 解答题专题提升训练 1．如图，为的切线，B为切点，过点B作，垂足为点E，交于点C，连接并延长与的延长线交于点D，连接． (1)求证：为的切线； (2)若半径为3，．求线段的长． 2．如图，在中，O为上一点，以点O为圆心，为半径作圆，与相切于点C，延长交于点D，连接，且． (1)求证：是的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积． 3．如图1，是的一条弦，是的切线．是的直径．是上一动点，过点作直线于点，交于点． (1)求证． (2)如图2，若是的中点．，，求的长． 4．如图，是的外接圆，为直径，，，交的延长线于点． (1)求证：． (2)求证：是的切线． (3)若，求． 5．如图，为的直径，过圆上一点作的切线交的延长线与点，过点作交于点，连接． (1)求证：与相切； (2)若，，求的长． 6．如图，已知内接于，是的直径，的平分线交于点，交于点，连接，作，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 7．如图，内接于，为的直径，为的弦，与交于点，若；延长至，使． (1)求证：与相切； (2)若，，求的长． 8．如图，是的直径，C是圆上一点，过C的直线与的延长线交于点D，于E，平分．    (1)求证：是的切线； (2)若，求． 9．已知是的直径，是的切线，是切点，与交于点． (1)如图，若，求的度数； (2)如图，若为的中点，求证：直线是的切线． 10．如图，在中，，点在上，以点为圆心，为半径的圆恰好经过上的点，分别交，于点，，点是弧的中点． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求的半径． 11．如图，是直角三角形的外接圆，直径，过点作的切线，与延长线交于点，为的中点，连接，，且与相交于点． (1)求证：与相切； (2)当时，求弦和弧所夹图形的面积； (3)在（2）的条件下，在弧上取一点，使，连接交弦于点，求的长度是多少？ 12．已知是的直径，为的切线，为切点，弦于点，且交于点，连接．    (1)证明：是的切线； (2)若，，求的长． 13．如图，是的直径，点C，D在上，平分，过点D作的垂线交的延长线于点E，交的延长线于点F，连接． (1)求证：是的切线； (2)求证： (3)若，求的长． 14．已知：如图1，中，，，动点P从点C出发沿线段以的速度向点B运动，同时动点Q从点B出发沿线段以的速度向点A运动，当其中一个动点停止运动时另一个动点也随之停止，设运动时间为t，以点Q为圆心，长为半径的圆Q与射线、线段分别交于点D、E． 尝试：当是等腰三角形时，求t的值； 探究：设，求与t的函数解析式，且写出t的取值范围； 拓展：如图2，连接，当t为何值时，线段与相切？ 延伸：如图2，若与线段只有一个公共点，求t的取值范围．    15．如图，中，，，，延长到点D，使．点P是边上一点，点Q在射线上，，以点P为圆心、PD长为半径作，交A于点E，设．    (1)______，当点Q在上时，______； (2)x为何值时，与相切？ (3)当时，求阴影部分的面积； (4)若与的三边有两个公共点，直接写出x的取值范围． 参考答案： 1．（1）证明：连接， ∵是的切线， ∴， 即， ∵是弦，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即， ∴是的切线； （2）解：在中，由勾股定理得， ， ∵， ∴， ∴， ∵都为的切线， ∴， ∴， 解得， ∴． 2．（1）解：过点作， ∵与相切， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为的半径， 又， ∴是的切线； （2）由（1）知：， ∵， ∴， 在中，，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 3．（1）解：连接，如图所示： 是的切线． ， ， 直线于点，有， ， ， ， ， ， ． （2）解：作于点，如图所示： ， ， ， 是的中点，， ， ， ， ， ，则， ， ，有，解得． 4．（1）证明：如图，作于， 在和中， ， ， ， ，， ； （2）证明：如图，连接， 是的直径， ，即， ，， ， ， ， ， ， 是的切线； （3）解：由（2）可知：， 在和中， ， ， ， 由（1）可得：， ， ． 5．1）证明：连接，如图所示： ∵为切线， ∴， 又∵， ∴，， ， ∴， 在与中； ∵， ∴， ∴， ∴直线与相切． （2）解：设半径为r， 在中，， 即， 解得； ， ， 在中，， ， 解得：． 6．（1）解：连接， ∵是的直径， ∴，即， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线． （2）解：设的半径为， 则有， 在中， ， ∴， 解得． ∴的半径为． 7．（1）证明：为的直径， ，即， ， ， ， ， ， ， ，即， 为的直径， 与相切； （2）解：如图，连接， ， ， ， 由（1）可得，， ， ， ，