平面向量的综合应用讲义-2024届高三数学一轮复习

平面向量的综合应用 类型一 平面向量的基本定理，换基底表示向量，坐标表示向量 1 类型二 等和线的性质与积化恒等式 4 类型三 平面向量求范围 8 类型一 平面向量的基本定理，换基底表示向量，坐标表示向量 1.（2023下·甘肃天水·高二天水市第一中学校考阶段练习）如图，四边形是平行四边形，点分别为的中点，若以向量为基底表示向量，则下列结论正确的是（  ）    A． B． C． D． 2.（2023·广东·统考模拟预测）古希腊数学家帕波斯在其著作《数学汇编》的第五卷序言中，提到了蜂巢，称蜜蜂将它们的蜂巢结构设计为相同并且拼接在一起的正六棱柱结构，从而储存更多的蜂蜜，提升了空间利用率，体现了动物的智慧，得到世人的认可.已知蜂巢结构的平面图形如图所示，则（  ）    A． B． C． D． 3．(多选)（2022下·江苏常州·高一校联考期末）如图所示设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为反射坐标系，若，则把有序数对叫做向量的反射坐标，记为．在的反射坐标系中，，．则下列结论中，错误的是（    ） A． B． C． D．在上的投影向量为 4.（2023·全国·统考高考真题）已知向量满足，且，则（  ） A． B． C． D． 5．（2021·天津·统考高考真题）在边长为的等边三角形中，为线段上的动点，且交于点．且交于点,则的值为 ；的最小值为 ． 6.已知中,=,=,为所在平面内一点,且满足=,则的值为 A. B. C. D. 7.如图,在中,为边上的中点,=,=,=. 求∠的余弦值; 点为上一点,且=,过点的直线与边,(不含端点)分别交于, 若=,求的值. 8.(多选)（2022下·湖北·高三湖北省武汉市汉铁高级中学校联考阶段练习）如下图所示，B是AC的中点，，P是平行四边形BCDE内含边界的一点，且，以下结论中正确的是（    ） A．当P是线段CE的中点时，， B．当时， C．若为定值时，则在平面直角坐标系中，点P的轨迹是一条线段 D．的最大值为 类型二 等和线的性质与积化恒等式 (一)三点共线的充要条件（“爪”字图及性质）： (1)已知，，为平面内不共线的三点，为平面内任意一点，若， 则点，，共线的充要条件是： . ①特别地，当为的中点时， ， ，即 . ②若，则，即 . ③若在线段上，且，则 ， . (二)积化恒等式 (2)如图，为中点，则 1.（2017·青海西宁·统考一模）如图，在中，点D在边上，且，点在边上，且，则用向量表示为（    ）    A． B． C． D． 2.（2019·安徽·阜阳市第三中学校联考一模）在中，点是上一点，且，为上一点，向量，则的最小值为（  ） A．16 B．8 C．4 D．2 3.（2022·全国·高一专题练习）给定两个长度为的平面向量和，它们的夹角为，如图所示，点在以为圆心的圆弧上运动，若，其中，则的最大值是 ；的最大值是 . 4.（2020下·浙江丽水·高二统考期末）在梯形中，，，为线段上的动点（包括端点），且（），则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（2023·重庆·统考一模）在中，，点Q满足，则的最大值为 . 6．（2023上·上海普陀·高三上海市晋元高级中学校考期中）已知点是边长为2的正内一点，且，若，则的最小值为（    ）. A． B． C． D． 7．（2021·全国·高三专题练习）已知是边长为4的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 8．（2019上·江苏南通·高三统考阶段练习）已知中，，，且的最小值为，若为边上任意一点，则的最小值是 . 9．（2023下·辽宁沈阳·高一沈阳二十中校考阶段练习）已知中，，，且 的最小值为，若为边上任意一点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 类型三 平面向量求范围 (一)常用的方法: （1）目标函数法；（2）换元法；（3）数形结合法；（4）基本不等式法. (二)建立不等关系常用的不等式: 向量数量积不等式: 向量的三角不等式:+ 1．（2022·浙江·浙江省江山中学校联考模拟预测）已知平面向量满足，且，则向量在向量方向上的投影的最小值为 . 2．(多选)（2022·重庆·统考模拟预测）已知平面内两个给定的向量，满足，，则使得的可能有（    ） A．0个 B．1