精品解析：北京市2024届“极光杯”高三上学期线上测试（二）数学试题

2024年普通高等学校招生全国统一考试适应性测试 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共7小题，每小题5分，共35分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则（ ） A 1 B. C. i D. 2. 设是公差不为0的等差数列，成等比数列，则（ ） A. 3 B. C. D. 2 3. 已知正方体，平面与平面的交线为l，则（ ） A. B. C. D. 4. 若函数有最小值，则t取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 设，，则（ ） A B. C. D. 6. 向量满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 暗箱中有编号为1，22个球，现从中随机摸1个球，若摸到2号球，则得2分，并停止摸球；若摸到1号球，则得1分，并将此球放回，重新摸球．记摸球停止时总得分为X，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、选择题：本题共3小题，每小题5分，共15分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的，少选择1个正确选项得3分，少选择2个正确选项得1分，否则得0分. 8. 对于数集，，它们的Descartes积，则（ ） A. B. 若，则 C. D. 集合表示轴所在直线 E. 集合表示正方形区域（含边界） 9. 已知直线经过抛物线的焦点，与交于，两点，与的准线交于点，若成等差数列，则（ ） A. B. C. D. E. 10. 存在定义域为的函数满足（ ） A. 是增函数，也是增函数 B. 是减函数，也是减函数 C. 对任意的，但 D. 是奇函数，但是偶函数 E. 的导函数的定义域也是，且 三、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分. 11. 曲线在点处的切线方程是__________． 12. 写出一个正整数，使得的展开式中存在常数项：__________． 13. 设双曲线的左、右焦点分别为，点P在C的右支上，当时， _______；当P运动时，的最小值为__________． 14. 已知某圆台的侧面是一个圆环被圆心角为的扇形所截得的扇环，且圆台的侧面积为，则该圆台体积的取值范围是__________． 四、解答题：本题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，． （1）求C； （2）若，求的最小值． 16. 已知数列和满足． （1）证明：； （2）是否存在，使得数列是等比数列？说明理由． 17. 设，函数． （1）讨论的单调性； （2）若，求a的取值范围； （3）若，求a． 18. 已知二面角，点与棱l的距离为，与半平面所在平面的距离为3． （1）求二面角的余弦值； （2）设，动点在半平面所在平面上，满足． （i）求Q运动轨迹的长度； （ii）求四面体体积的最大可能值． 19. 设离散型随机变量X和Y有相同的可能取值，它们的分布列分别为，，，，．指标可用来刻画X和Y的相似程度，其定义为．设． （1）若，求； （2）若，求的最小值； （3）对任意与有相同可能取值的随机变量，证明：，并指出取等号的充要条件 本题分I、Ⅱ两部分，考生任选其中一部分作答．若多选，则按照I部分计分． 20. （1）如图1，点A在直线l外，仅利用圆规和无刻度直尺，作直线（保留作图痕迹，不需说明作图步骤）． （2）证明：一簇平行直线被椭圆所截弦的中点的轨迹是一条线段（不含端点）； （3）如图2是一个椭圆C，仅利用圆规和无刻度直尺，作出C两个焦点，简要说明作图步骤（只说明作图步骤）． 21. 已知点，集合，点，且对于S中任何异于P的点Q，都有． （1）证明：P在椭圆上； （2）求P的坐标； （3）设椭圆的焦点为，证明：． 参考公式：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年普通高等学校招生全国统一考试适应性测试 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共7小题，每小题5分，共35分.在每小题给出的四