湖南省长沙市第一中学2023-2024学年高三上学期月考数学试卷(五)

长沙市一中2024届高三月考试卷（五） 数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，.若，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数在复平面内对应的点在坐标轴上，则的值不可能是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 3. 函数（，且）的图象可能是（ ）. A. B. C. D. 4. 已知，，是空间中三个不同平面，，是空间中两条不同的直线，则下列结论错误的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 5. 已知，则“”是“数列是递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 6. 假设一水渠的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的渠口宽为，渠深为，水面距为，则截面图中水面宽的长度约为（ ）（，，） A. 0.816m B. 1.33m C. 1.50m D. 1.63m 7. 函数（，，）的一个对称中心为，且的一条对称轴为，当取得最小值时，（ ） A B. C. D. 8. 已知对恒成立，且越接近于1，它们的值也越接近.如，取时，有，计算可得：.则的近似值为（ ）（附：，，） A. 1.60 B. 1.61 C. 1.62 D. 1.63 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分. 9. 某学校高一年级学生有900人，其中男生500人，女生400人，为了获得该校高一全体学生的身高信息，现采用样本量比例分配的分层随机抽样方法抽取了容量为180的样本，经计算得男生样本的均值为170，方差为19，女生样本的均值为161，方差为28，则下列说法中正确的是（ ） A. 男生样本容量为100 B. 抽取的样本的方差为43 C. 抽取样本的均值为166 D. 抽取的样本的均值为165.5 10. 下列说法正确的是（ ） A. 经过点且在两坐标轴上截距相等的直线只有一条 B. 经过点且与原点距离等于1的直线有两条 C. 过点且与圆相切的直线只有一条 D. 过点且与圆相切的圆只有一个 11. 四棱锥的底面为正方形，与底面垂直，，，动点在线段上，则（ ） A. 不存在点，使得 B. 的最小值为 C. 四棱锥的外接球表面积为 D. 点到直线的距离的最小值为 12. 将数列中的所有项排成如下数阵： … 已知从第2行开始每一行比上一行多两项，第1列数，，，…成等差数列，且，，从第2行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成以2为公比的等比数列，则（ ） A. B. 位于第5行第9列 C. D. 若，则位于第3行第5列或第8行第3列 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知函数是奇函数，且，则的值为______ 14. 向量，，在正方形网格（每个小正方形的边长为1）中的位置如图所示，若向量与共线，则与夹角的余弦值为______ 15. 设，则______ 16. 已知为椭圆：（）上一点，，为左、右焦点，设，，若，则该椭圆的离心率______ 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 全民健身创精彩，健康成长蟩未来.为此某校每年定期开展体育艺术节活动，活动期间举办乒乓球比赛.假设甲乙两人进行一场比赛，在每一局比赛中，都不会出现平局，甲获胜的概率为（）. （1）若比赛采用五局三胜制，且，则求甲在第一局失利的情况下，反败为胜的概率； （2）若比赛有两种赛制，五局三胜制和三局两胜制，且，试分析哪种赛制下甲获胜的概率更大？并说明理由. 18. 在△中，，，为边上一点，且平分. （1）若，求； （2）若，求线段的长. 19. 如图，点在以为直径的圆上，垂直于圆所在平面，为的重心. （1）求证：平面平面； （2）若，，求二面角的余弦值. 20. 设数列满足：对任意正整数，有. （1）求数列的通项公式； （2）若抽去数列中第1项，第4项，第7项，…，第项，余下的项顺序不变，组成一个新数列，记数列的前项和为.已知对于任意的正整数，恒成立，求的最大值. 21. 已知函数（）. （1）是否存在实数，使得为函数的极小值点.若存在，求的值；若不存在，请说明理由； （2）若图象上总存在关于点对称的两点，求的取值范围. 22. 已知双曲线的虚轴长为2，其中一条渐近线方程为.且，分别是双曲线的左、右顶点. （1）求双曲线的方程； （2）设过点的动直线交双曲线右支于，两点，若直线，的斜率分别为，. ①试探究与的比值