专题8.1 零点及函数模型（九个重难点突破）-2023-2024学年高一数学重难点突破及混淆易错规避（苏教版2019必修第一册）

专题8.1零点与函数模型 知识点1函数的零点 1.零点的概念：对于一般函数，我们把使的实数叫做函数的零点． 温馨提示：同二次函数的零点一样，一般函数的零点也不是一个点，而是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零． 2．方程、函数、图象之间的关系 方程有实根⇔函数的图象与轴有交点⇔函数有零点． 知识点2函数零点的存在性定理 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，并且有，那么，函数y=f(x)在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解． 温馨提示：定理实际上是通过零点附近函数值的正负来研究函数值为零的情况，要求具备两条： （1）函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线；（2）. 知识点3二分法 1．二分法的定义：对于在区间上图象连续不断且的函数,通过不断地把它的零点所在区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 温馨提示：二分就是将所给区间平均分成两部分,通过不断逼近的办法,找到零点附近足够小的区间,根据所要求的精确度,用此区间的某个数值近似地表示真正的零点． 2．二分法求函数零点的一般步骤 给定精确度,用二分法求函数零点近似值的一般步骤如下： （1）确定的初始区间,验证； （2）求区间的中点； （3）计算,并进一步确定零点所在的区间 ①若 (此时),则就是函数的零点； ②若 (此时零点),则令； ③若 (此时零点),则令. （4）判断是否达到精确度：即若,则得到零点近似值(或)；否则重复步骤（2）～（4）． 知识点4函数模型 1．常见的函数模型：建立实际应用问题的函数模型除了前面见过的一次函数模型、反比例函数模型、二次函数模型、分段函数模型,还有常见的以下函数模型： 指数函数模型(且) 对数函数模型： (且)． 2．常见的图象对应的数学模型 （1）相邻两点之间的距离变化越来越大时,如图（1）常选(且)模型． （2）相邻两点之间的距离越来越近似相等,如图（2）,常选 (且)．模型． （3）点的变化趋势先升后降(或先降后升),如图（3）,常选二次函数模型． （4）相邻两点之间等距,如图（4）,常选一次函数模型． 重难点1零点的概念及求法 【例1】（多选）下列函数不存在零点的是（   ） ． A． B． C． D． 【例2】函数的零点为 . 求零点，则方程，求出对应的根即可 【变式1-1】若二次函数的两个零点为2，3，则二次函数的零点是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】函数的零点是 ． 【变式1-3】已知函数的零点是2，则 重难点2判断零点个数 【例3】函数零点的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【例4】若，则方程的实根个数（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 判断函数零点个数的方法： ①图象法：结合函数图象进行判断，即转化为两函数图象的交点个数问题． ②单调性法：借助函数的单调性进行判断．若函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且在区间上单调,满足,则函数在区间上有且仅有一个零点, 【变式2-1】函数的零点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2-2】函数的零点个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式2-3】若函数则函数的零点的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 重难点3根据零点个数求参数范围 【例5】若函数有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例6】已知函数，若函数有3个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 已知函数零点个数求参数常用的方法： ①直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； ②分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； ③数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 【变式3-1】已知函数，若方程有且仅有个实数根，则实数的取值范围是 . 【变式3-2】已知函数，若方程有3个实数解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】已知函数，若函数有3个不同的零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 重难点4判断零点所在区间 【例7】函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【例8】方程：至少有一个实根的区间是（    ） A． B． C． D． 判断函数零点所在区间的3个步骤： ①代入：将区间端点值代入函数求出函数的值；②判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断； ③结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有