2024年江苏省启东中学创新人才培养实验班自主招生考试数学模拟试卷

江苏省启东中学2024年创新人才培养实验班自主招生考试 数学模拟试卷 （满分150分，考试试卷120分钟） 一、选择题（本大题共6题，每小题5分，共30分） 1.设，，，……，．其中n为正整数，则的值是（    ） A． B． C． D． 2.如图，点I为的内心，连接并延长交的外接圆于点D，点E为弦的中点，连接，，，当，，时，的长为（ ） A. 5 B. 4.5 C. 4 D. 3.5 3.如图，一次函数y＝x+的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，把直线AB绕点B顺时针旋转30°交x轴于点C，则线段AC长为（　　） A．+ B．3 C．2+ D．+ 4.如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，以OA为一边作等腰直角三角形OAB，其中∠OAB＝90°，AO＝AB，则线段OB长的最小值是（　　） A．1 B． C．2 D．4 5.如图，四边形ABCD为正方形，将△EDC绕点C逆时针旋转90°至△HBC，点D，B，H在同一直线上，HE与AB交于点G，延长HE与CD的延长线交于点F，HB＝2，HG＝3．以下结论：①∠EDC＝135°；②EC2＝CD•CF；③HG＝EF；④sin∠CED＝．其中正确结论的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6.已知二次函数（其中是自变量），当时对应的函数值均为正数，则的取值范围为（　　） A. B. 或 C. 或 D. 或 二、填空题（本大题共6题，每小题5分，共30分） 7.第19届亚运会将于今年9月23日到10月08日在杭州举行.其吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人.三个吉祥物分别取名“琮琮”、“莲莲”和“宸宸”，分别代表世界遗产“良渚古城遗址”、“西湖”、“京杭大运河”.某校开展了一系列的“迎亚运”活动，其中一项是由志愿者扮演吉祥物和同学们合影留念.甲乙两位同学和三个吉祥物一起合影，站成一行，要求甲乙不相邻，且甲乙均不站在两端，则不同的站法种数为 . 8.如图，将两个边长分别为和正方形拼在一起，、、三点在同一直线上，连接和，若这两个正方形的边长满足，、则阴影部分的面积为 ． 9.如图，已知在中，，，将绕点A旋转，点B、C分别落在点、处，如果，连接结交边于点D，那么的值为______． 10.如图，是线段上一点，和是位于直线同侧的两个等边三角形，点分别是的中点．若，则PA+PB的最小值为______． 11.若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：等都是三倍点”，在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，则c的取值范围是______． 12.人们把≈0.618这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．a＝，b＝，记S1＝+，S2＝+，…，S100＝+，则S1+S2+…+S100_______． 三、解答题（本大题共6题，共30分） 13.（本小题14分） 若、、为正有理数， 证明：（1）若为有理数，则、为有理数. （2）若为有理数，则、、为有理数. 14.（本小题14分） 若直角三角形的边长都是质数，且使得代数式及的值都是正整数，求此直角三角形的三边长. 15.（本小题15分） 如图，以为直径的与相切于点A，点C在左侧圆弧上，弦交于点D，连接．点A关于的对称点为E，直线交于点F，交于点G． （1）求证：； （2）当点E在上，连接交于点P，若，求的值； （3）当点E在线段上，，以点A，C，O，F为顶点的四边形中有一组对边平行时，求的长． 16.（本小题15分） 如图，已知正方形，点是边上的一个动点（不与点、重合），点在上，满足，延长交于点． （1）求证：； （2）连接． ①当时，求的值； ②如果是以为腰的等腰三角形，求的正切值． 17.（本小题16分） 以下虚线框中为一个合作学习小组在一次数学实验中的过程记录，请阅读后完成虚线框下方的问题1～4． （Ⅰ）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，在探究三边关系时，通过画图，度量和计算，收集到一组数据如下表：（单位：厘米） AC 2.8 2.7 2.6 2.3 2 1.5 0.4 BC 0.4 0.8 1.2 1.6 2 2.4 2.8 AC+BC 3.2 3.5 3.8 3.9 4 3.9 3.2 （Ⅱ）根据学习函数的经验，选取上表中BC和AC+BC的数据进行分析： ①BC＝x，AC+BC＝y，以（x，y）为坐标，在图①所示的坐标系中描出对应的点： ②连线： 观察思考 （Ⅲ）结合表中的数据以及所画的图象，猜想．当x＝____时，y最大； （Ⅳ）进一步精想：若Rt△ABC中，∠C＝90°