专题10求数列通项公式八个重难点归类-2023-2024学年高二数学上学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版2019）

专题10求数列通项公式八个重难点归类 【重难点一 等差等比的证明】 例1．数列满足，，，设. (1)证明：数列是等差数列； (2)求数列的前项和. 例2．记为数列的前项和，为数列的前项和，已知． (1)证明：数列是等比数列； (2)若，求的前项和． 若或，则是等差数列； 若或,则是等比数列 【跟踪练习】 练习1．已知在数列中，． (1)令，证明：数列是等比数列； (2)设，证明：数列是等差数列． 练习2．已知数列的前n项和为，是n、的等差中项，． (1)证明：是等比数列； (2)设，数列的前n项和，证明：． 练习3．已知是等差数列，若，． (1)求的通项公式； (2)证明是等差数列． 练习4．在数列中，且满足（且）． (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的前项和． 【重难点二 累加法、累乘法】 例3．（多选）已知数列满足，，的前项和为，则（　　） A． B． C． D． 例4．（1）已知数列满足，，求的通项． （2）数列中，，（n为正整数），求． ①累加法：适用于，求 具体过程：两边分别相加得 ②累乘法：适用于，求 具体过程： ，两边分别相乘得 【跟踪练习】 练习1．在等比数列中，，则 . 练习2．若数列满足，（，），则的最小值是 . 练习3．已知数列满足，，． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式． 练习4．已知各项均为正数的数列满足，且． (1)若，求证是等比数列； (2)求的通项公式． 【重难点三 待定系数法】 例5．（多选）已知数列满足，则（    ） A． B．是等差数列 C．是等差数列 D．数列的前100项和为 例6．（多选）已知首项为1的数列的前n项和为，且，则下列结论正确的是（    ） A．数列为等比数列 B．数列不是等比数列 C． D．中任意三项不能构成等差数列 ①形如且 方法:化为的形式，令,即得为等比数列,从而求得数列的通项公式. ② 方法：这种类型一般是等式两边取对数后得：，再进行求解。 【跟踪练习】 练习1．已知数列满足，，则满足不等式的k（k为正整数）的值为 ． 练习2．设数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 练习3．已知数列满足，，求的通项公式. 练习4．设正项数列满足，，求数列的通项公式． 【重难点四 同除法】 例7．（多选）已知数列的前项和为，则（    ） A． B．为等比数列 C． D． 例8．已知数列满足，，则数列的通项公式为 ①形如整式，两边同时除以 ②形如且，两边同除,得,令,得,转化为利用累加法求（若为常数,则为等差数列） 【跟踪练习】 练习1．已知数列中，，若，则正整数的值为 . 练习2．设为数列的前项和，已知，，则 练习3．已知数列中，且，则数列的通项公式为 . 练习4．在数列中，，对，． (1)求数列的通项公式； (2)若，证明数列的前项和． 【重难点五 用公式消】 例9．（多选）已知正项数列的前项和为，，则下列说法正确的是（    ） A． B．是递减数列 C． D． 例10．已知数列的前项和为，则 ． 用消的3个步骤： ①先利用求出;②用替换中的得到一个新的关系，利用便可求出当时的表达式;③注意检验时的表达式是否可以与的表达式合并. 【跟踪练习】 练习1．在数列，中，若，数列的前项和满足. (1)求数列的通项公式. (2)若数列满足，求数列的前项和. 练习2．已知正项数列的前项和为，且满足. (1)求的通项公式； (2)记，求数列的前项和. 练习3．已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 练习4．已知数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，若，求的最小值. 【重难点六 用公式消】 例11．设数列的前项和为 ，，，，则数列的前项和为 （　　  ） A． B． C． D． 例12．已知正项数列的前项和为，，且当时． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，数列的前项和为，试比较与的大小，并加以证明. 首项为，公比为的等比数列的通项公式是 【跟踪练习】 练习1．已知数列满足，，其中为的前项和，求. 练习2．（多选）已知正项数列的前项和为，且，则（    ） A．是递减数列 B．是等差数列 C． D． 练习3．设是数列的前n项和，且，则 ，数列的前5项和为 ． 练习4．已知数列的前n项和为，且，. (1)求； (2)记，求数列的前n项和. 【重难点七 “和”型和“积”型】 例13．已知数列满足：，设数列的前项和为，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 例14．数列对任意正