第06讲 双曲线与方程（十一大重难点）-2024-2025学年高二数学上学期期中期末重难点归类及真题训练（人教A版）

2024-2025学年高二数学上学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版） 第06讲 双曲线与方程 一、双曲线的定义和标准方程 1．双曲线的定义 （1）定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数(小于且大于零)的点的轨迹叫做双曲线． 这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫做双曲线的焦距． （2）符号语言：. （3）当时，曲线仅表示焦点所对应的双曲线的一支； 当时，曲线仅表示焦点所对应的双曲线的一支； 当时，轨迹为分别以为端点的两条射线； 当时，动点轨迹不存在． 2．双曲线的标准方程 双曲线的标准方程有两种形式： （1）焦点在轴上的双曲线的标准方程为(a＞0，b＞0)，焦点分别为焦距为，且，如图1所示； （2）焦点在轴上的双曲线的标准方程为(a＞0，b＞0)，焦点分别为焦距为，且，如图2所示． 图1 图2 注：双曲线方程中的大小关系是不确定的，但必有． 3．必记结论 （1）焦点到渐近线的距离为. （2）与双曲线(a＞0，b＞0)有共同渐近线的双曲线方程可设为． （3）若双曲线的渐近线方程为，则双曲线方程可设为或． （4）与双曲线(a＞0，b＞0)共焦点的双曲线方程可设为 ． （5）过两个已知点的双曲线的标准方程可设为． （6）与椭圆有共同焦点的双曲线方程可设为． 二、双曲线的几何性质 1．双曲线的几何性质 标准方程 图形 范围 ， ， 对称性 对称轴：x轴、y轴；对称中心：原点 焦点 左焦点，右焦点 下焦点，上焦点 顶点 轴 线段是双曲线的实轴，线段是双曲线的虚轴； 实轴长，虚轴长 渐近线 离心率 2．等轴双曲线的概念和性质 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线．等轴双曲线具有以下性质： （1）方程形式为； （2）渐近线方程为，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角； （3）实轴长和虚轴长都等于，离心率． 重难点01双曲线的定义及其应用 【解题必备】双曲线定义中，距离的差要加绝对值，否则只有双曲线的一支，若分别表示双曲线的左、右焦点，则有以下两种情形： ①若点满足，则点在左支上； ②若点满足，则点在右支上. 例1．（多选）已知、，下列说法中错误的是（    ） A．平面内到、两点的距离相等的点的轨迹是直线 B．平面内到、两点的距离之和等于的点的轨迹是椭圆 C．平面内到、两点的距离之差等于的点的轨迹是双曲线的一支 D．平面内到、两点距离的平方和为的点的轨迹是圆 例2．设双曲线的焦点为，点为上一点，，则为（    ） A．22 B．14 C．10 D．2 【跟踪练习】 练习1．已知点，动点满足，则动点的轨迹是（    ） A．射线 B．线段 C．双曲线的一支 D．双曲线 练习2．设、是两定点，，动点P满足，则动点P的轨迹是（    ） A．双曲线 B．双曲线的一支 C．一条射线 D．轨迹不存在 练习3．平面内动点到两定点的距离之差为，若动点的轨迹是双曲线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 练习4．己知平面直角坐标系中、．若A为动点且满足，则动点的轨迹方程为 ． 重难点02双曲线的标准方程 【解题必备】（1）定义法：若由题设条件能够判断出动点的轨迹是双曲线，则可根据双曲线的定义确定其方程． （2）用待定系数法求双曲线方程的一般步骤: ①定位置：根据条件确定双曲线的焦点在哪条坐标轴上，还是两种都有可能； ②设方程：根据焦点位置,设方程为或,焦点不定时,亦可设为； ③寻关系：根据已知条件列出关于的方程组 ④得方程：解方程组，将代入所设方程 例3．已知双曲线经过点，则其标准方程为（    ） A． B． C． D．或 例4．（多选）已知曲线：，下列说法正确的有（   ） A．当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆 B．当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线 C．当时，所给方程没有轨迹 D．当且时，曲线的焦距为8 【跟踪练习】 练习1．已知是双曲线的一个焦点，则 ． 练习2．若双曲线与椭圆的焦点相同，且过点，则该双曲线的标准方程为 . 练习3．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)与椭圆有公共焦点，且过点； (2)焦点在y轴上，焦距为8，渐近线斜率为； (3)经过点，且一条渐近线的方程为． 练习4．若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围为 . 重难点03双曲线的焦点三角形 【解题必备】利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条件的变形使用，二是要特别注意与的关系. 例5．设，是双曲线C：的左，右焦点，过的直线与y轴和C的右支分别交于点P，Q，若是正三角形，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 例6．已知在双曲线上，其左、右焦点分别为、，三角形的内切圆切轴于点，则的值为 ． 【跟踪练习】 练习1．已知双曲线的左、右焦点分别为、，过坐标原点的直线与双曲线C交于A、B两点，若，则（    ） A． B． C． D．4 练习2．已知分别为双曲线的左､右焦点，过的直线与双曲线的左支交于两点，若，则双曲线的焦距为（    ） A． B． C． D． 练习3．已知点P在双曲线C：上，，别是双曲线C的左、右焦点，若的面积为20，则点P到x轴的距离为 且 ． 练习4．已知，分别为双曲线：的左、右焦点，为右支上一点，且，则的面积为 . 重难点04双曲线中的最值与范围 【解题必备】（1）若定点与双曲线右焦点在双曲线右支的同侧，则的最小值是，最大值不存在； （2）若定点与双曲线右焦点在双曲线右支的异侧，则的最小值是，最大值不存在． 例7．若点在曲线上，点在曲线上，点在曲线上，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 例8．已知是双曲线上的点，为双曲线的右焦点，点的坐标为，则的最小值是 ． 【跟踪练习】 练习1．双曲线的右焦点为，点A的坐标为，点为双曲线左支上的动点，且周长的最小值为，则为（    ） A． B． C． D． 练习2．已知点是双曲线右支上的一点，点、分别是圆和上的点，求的最大值． 练习3．已知为曲线上任意一点，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 练习4．设圆与两圆中的一个内切，另一个外切． (1)求的圆心轨迹的方程； (2)已知点，且为上动点．求的最大值． 重难点05双曲线的几何性质 【解题必备】由双曲线的标准方程求双曲线的有关性质，首先要将双曲线方程化为标准形式或，确定的值，进而求出，再根据双曲线的几何性质得到相应的答案. 例9．已知双曲线与，下列说法正确的是（　　） A．两个双曲线有公共顶点 B．两个双曲线有公共焦点 C．两个双曲线有公共渐近线 D．两个双曲线的离心率相等 例10．求适合下列条件的双曲线的标准方程. (1)实轴长为，离心率为; (2)已知双曲线的中心在原点，焦点，在坐标轴上，实轴长和虚轴长相等，且过点. 【跟踪练习】 练习1．双曲线：与双曲线：的（    ） A．实轴长相等 B．焦点坐标相同 C．焦距相等 D．离心率相等 练习2．（多选）已知双曲线，下列选项正确的是（    ） A．双曲线的渐近线方程为 B．双曲线的实轴长为8 C．双曲线的焦距为 D．双曲线的离心率为 练习3．已知双曲线C渐近线方程为，两顶点间的距离为6，则该双曲线C的方程是 ． 练习4．已知双曲线C：（，）与双曲线有相同的渐近线，且经过点． (1)求双曲线的方程； (2)求双曲线的实轴长，焦点坐标，离心率． 重难点06双曲线的渐近线 【解题必备】根据双曲线的标准方程求它的渐近线方程的方法中，最简单且实用的是把双曲线标准方程中等号右边的“1”改成“0”，就得到了此双曲线的渐近线方程． 与双曲线有共同渐近线的双曲线方程可设为； 若已知双曲线的渐近线方程或，则双曲线方程可设为.(当时，焦点在轴上；当时，焦点在轴上.) 例11．已知双曲线以两个坐标轴为对称轴，且经过点和，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 例12．已知双曲线：（，）的右焦点为，左、右顶点分别为，，点在上且轴，直线，与轴分别交于点，，若（为坐标原点），则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【跟踪练习】 练习1．已知双曲线：的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 练习2．如图，已知为双曲线的焦点，过作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且，则双曲线得渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 练习3．设为原点，为双曲线的两个焦点，点在上且满足，，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 练习4．已知双曲线的左、右焦点分别为，. 点A在双曲线上，点在轴上，，，则双曲线的渐近线方程为 . 重难点07求双曲线的离心率 【解题必备】求解双曲线的离心率一般有两种方法 (1)由条件寻找所满足的等式，常用的公式变形为，其中； (2)依据条件列出含的齐次方程，利用转化为含或的方程，解方程即可，注意依据对所得解进行取舍. 例13．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点为在第一象限上的一点.若为直角三角形，，则的离心率为（   ） A． B． C．2 D． 例14．已知双曲线与直线相交于，两点，其中中点的横坐标为，则该双曲线的离心率为 . 【跟踪练习】 练习1．已知双曲线 的两条渐近线互相垂直，则C的离心率为 . 练习2．已知双曲线的左焦点为F ，过点F 的直线与双曲线C的左、右支分别交于点A、B， 若OA⊥AB，， 则该双曲线的离心率为 . 练习3．已知双曲线的左、右焦点分别为，若双曲线的左支上一点满足，以为圆心的圆与的延长线相切于点，且，则双曲线的离心率为 . 练习4．双曲线：的左焦点为，右顶点为，点到渐近线的距离是点到渐近线距离的2倍，则的离心率为 . 重难点08求双曲线离心率的取值范围 【解题必备】求双曲线离心率的取值范围，关键是根据条件得到不等关系，并转化为关于的不等关系，结合和得到关于的不等式，然后求解 例15．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，若在上存在点（不是顶点），使得，则的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 例16．已知椭圆与双曲线有共同的焦点，，椭圆的一个短轴端点为B，直线与双曲线的一条渐近线平行，椭圆与双曲线的离心率分别为，，则的取值范围是 . 【跟踪练习】 练习1．已知双曲线的左、右焦点分别为，点在上，若，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 练习2．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，M为双曲线右支上的一点，若M在以为直径的圆上，且，则该双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 练习3．已知F是双曲线（，）的右焦点，O是坐标原点，F是OP的中点，双曲线E上有且仅有一个动点与点P之间的距离最近，则E的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 练习4．已知，分别是双曲线的左、右焦点，过点且斜率为2的直线与的一条渐近线在第四象限相交于点，四边形为平行四边形.若直线的斜率，则的离心率的取值范围为 . 重难点09与双曲线有关的轨迹方程问题 例17．双曲线的另一种定义：动点与定点的距离和它与定直线：的距离的比是常数，则点的轨迹是一个双曲线.动点与定点的距离和它与定直线：的距离的比是，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 例18．已知向量，，点，，直线PD，QD的方向向量分别为，，其中，记动点D的轨迹为E，求E的方程 【跟踪练习】 练习1．已知、为直线上的两个定点，，为上的动点．在平面直角坐标系中，、，以为圆心，为半径作圆；以为圆心，为半径作圆，则两圆公共点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 练习2．过椭圆右焦点F的圆与圆O：外切，则该圆直径FQ的端点Q的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 练习3．如图，在矩形中，分别是矩形四条边的中点，点在直线上，点在直线上，，直线与直线相交于点，则点的轨迹方程为 . 练习4．已知两圆，，动圆C与圆外切，且与圆内切，求动圆圆心C的轨迹方程． 重难点10双曲线的实际问题 【解题必备】利用双曲线解决实际问题的基本步骤： （1）建立适当的坐标系；（2）求出双曲线的标准方程(待定系数法)；（3）根据双曲线的方程及几何性质解决实际问题． 例19．如图所示，某拱桥的截面图可以看作双曲线的图象的一部分，当拱顶M到水面的距离为米时，水面宽为米，则此双曲线的虚轴长为（    ）    A． B．2 C．3 D．6 例20．中国景德镇陶瓷世界闻名，其中青花瓷最受大家的喜爱，如图1这个精美的青花瓷它的颈部（图2）外形上下对称，基本可看作是离心的双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面，若该颈部中最细处直径为16厘米，瓶口直径为20厘米，则颈部高为 厘米． 【跟踪练习】 练习1．、、是海上三个救援中心，在的正东方向，相距，在的北偏西，相距，为海面上一艘油轮．某一时刻，发现的求救信号，由于、两地比距地远，因此后，、两地才同时发现这一信号，该信号的传播速度为． (1)若救援，求在处发现的方位角； (2)若信号在空间中被发现，的位置在何处时，才能使、收到的时间差小于．（只需写出一种位置即可） 练习2．体育馆等建筑的屋顶一般采用曲面结构．如图所示，某建筑的屋顶采用双曲面结构，该建筑屋顶外形弧线可看作是双曲线上支的部分，其渐近线方程为，上焦点坐标为，那么该双曲线的标准方程为（ ） A． B． C． D． 练习3．圆锥曲线的光学性质在实际生活中有着广泛的应用．我国首先研制成功的“双曲线电瓶新闻灯”就是利用了双曲线的光学性质，即从双曲线的一个焦点射出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都经过双曲线的另一个焦点．如图，已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，当入射光线和反射光线PE互相垂直时（其中P为入射点），，则该双曲线的离心率为（    ）    A． B．2 C． D． 练习4．如图，唐金筐宝钿团花纹金杯出土于西安，这件金杯整体造型具有玲珑剔透之美，充分体现唐代金银器制作的高超技艺，是唐代金银细工的典范之作．该杯主体部分的轴截面可以近似看作双曲线的一部分，设该双曲线的方程为，右焦点为，过点的直线与双曲线的右支交于两点，且，点关于原点的对称点为点，若，则双曲线的离心率为 ． 重难点11双曲线的综合问题 例21．（多选）已知双曲线E:的左、有焦点分别是，离心率为2，过右焦点的直线交双曲线E的右支于A，B两点，的内切圆圆心为M，则下列结论正确的是（    ） A．双曲线E的渐近线方程为 B．直线与双曲线E的左、右两支各有一个交点 C．的最小值为 2a D．M在定直线上 例22．在以为坐标原点的平面直角坐标系中，双曲线：的虚轴长为4，一条渐近线方程为，直线：交双曲线于、两点，为直线上一点且.点为直线与轴的交点. (1)求双曲线的方程和焦距； (2)若线段上一动点满足，求直线与的斜率之积. 【跟踪练习】 练习1．设为双曲线上一点，两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一､四象限.若，则的面积为 . 练习2．已知双曲线的离心率为，且的一个焦点到其一条渐近线的距离为1. (1)求双曲线的方程； (2)设点为的左顶点，若过点的直线与的右支交于两点，且直线与轴分别交于两点，记四边形的面积为的面积为，求的取值范围. 练习3．已知双曲线，点，坐标原点. (1)直线经过点A，与的两条渐近线分别交于点.若面积为，求直线的方程； (2)如图，直线交双曲线的右支于不同两点.若，求实数的取值范围. 练习4．已知双曲线的实轴长为，右焦点到一条渐近线的距离为1. (1)求的方程； (2)过上一点作的两条渐近线的垂线，垂足分别为， （i）若为双曲线的右顶点，求三角形的面积 （ii）若，求点的坐标. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高二数学上学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版） 第06讲 双曲线与方程 一、双曲线的定义和标准方程 1．双曲线的定义 （1）定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数(小于且大于零)的点的轨迹叫做双曲线． 这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫做双曲线的焦距． （2）符号语言：. （3）当时，曲线仅表示焦点所对应的双曲线的一支； 当时，曲线仅表示焦点所对应的双曲线的一支； 当时，轨迹为分别以为端点的两条射线； 当时，动点轨迹不存在． 2．双曲线的标准方程 双曲线的标准方程有两种形式： （1）焦点在轴上的双曲线的标准方程为(a＞0，b＞0)，焦点分别为焦距为，且，如图1所示； （2）焦点在轴上的双曲线的标准方程为(a＞0，b＞0)，焦点分别为焦距为，且，如图2所示． 图1 图2 注：双曲线方程中的大小关系是不确定的，但必有． 3．必记结论 （1）焦点到渐近线的距离为. （2）与双曲线(a＞0，b＞0)有共同渐近线的双曲线方程可设为． （3）若双曲线的渐近线方程为，则双曲线方程可设为或． （4）与双曲线(a＞0，b＞0)共焦点的双曲线方程可设为 ． （5）过两个已知点的双曲线的标准方程可设为． （6）与椭圆有共同焦点的双曲线方程可设为． 二、双曲线的几何性质 1．双曲线的几何性质 标准方程 图形 范围 ， ， 对称性 对称轴：x轴、y轴；对称中心：原点 焦点 左焦点，右焦点 下焦点，上焦点 顶点 轴 线段是双曲线的实轴，线段是双曲线的虚轴； 实轴长，虚轴长 渐近线 离心率 2．等轴双曲线的概念和性质 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线．等轴双曲线具有以下性质： （1）方程形式为； （2）渐近线方程为，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角； （3）实轴长和虚轴长都等于，离心率． 重难点01双曲线的定义及其应用 【解题必备】双曲线定义中，距离的差要加绝对值，否则只有双曲线的一支，若分别表示双曲线的左、右焦点，则有以下两种情形： ①若点满足，则点在左支上； ②若点满足，则点在右支上. 例1．（多选）已知、，下列说法中错误的是（    ） A．平面内到、两点的距离相等的点的轨迹是直线 B．平面内到、两点的距离之和等于的点的轨迹是椭圆 C．平面内到、两点的距离之差等于的点的轨迹是双曲线的一支 D．平面内到、两点距离的平方和为的点的轨迹是圆 【答案】BD 【详解】设所求动点为，由题意可得 对于A选项，由题意可知，，则点的轨迹为线段的垂直平分线，A正确； 对于B选项，，所以点的轨迹为线段，B错误； 对于C选项，由题意可知，， 所以点的轨迹是以、为焦点的双曲线的一支，C正确； 对于D选项，设点，则，可得，满足条件的点不存在，D错误. 故选：BD. 例2．设双曲线的焦点为，点为上一点，，则为（    ） A．22 B．14 C．10 D．2 【答案】B 【详解】由题可知，又点为上一点， 所以，又，所以或（舍去）， 故， 故选：B. 【跟踪练习】 练习1．已知点，动点满足，则动点的轨迹是（    ） A．射线 B．线段 C．双曲线的一支 D．双曲线 【答案】C 【详解】根据题意，点，则， 若动点P满足，且， 则P的轨迹是以A，B为焦点双曲线的右支， 故选：C. 练习2．设、是两定点，，动点P满足，则动点P的轨迹是（    ） A．双曲线 B．双曲线的一支 C．一条射线 D．轨迹不存在 【答案】B 【详解】依题意，、是两个定点，P是一个动点， 且满足，所以动点P的轨迹是双曲线的一支. 故选：B 练习3．平面内动点到两定点的距离之差为，若动点的轨迹是双曲线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由双曲线的定义可得，，且，解得. 故选：D. 练习4．己知平面直角坐标系中、．若A为动点且满足，则动点的轨迹方程为 ． 【答案】 【详解】因为，故的轨迹为双曲线的右支（扣除顶点）， 且半焦距，实半轴长，故虚半轴长为， 的轨迹方程为：. 故答案为：. 重难点02双曲线的标准方程 【解题必备】（1）定义法：若由题设条件能够判断出动点的轨迹是双曲线，则可根据双曲线的定义确定其方程． （2）用待定系数法求双曲线方程的一般步骤: ①定位置：根据条件确定双曲线的焦点在哪条坐标轴上，还是两种都有可能； ②设方程：根据焦点位置,设方程为或,焦点不定时,亦可设为； ③寻关系：根据已知条件列出关于的方程组 ④得方程：解方程组，将代入所设方程 例3．已知双曲线经过点，则其标准方程为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【详解】设双曲线方程为， 则，解得， 所以双曲线的标准方程为. 故选：A. 例4．（多选）已知曲线：，下列说法正确的有（   ） A．当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆 B．当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线 C．当时，所给方程没有轨迹 D．当且时，曲线的焦距为8 【答案】ACD 【详解】对于A，当时，，曲线表示焦点在轴上的椭圆，A正确； 对于B，，，曲线表示焦点在轴上的双曲线，B错误； 对于C，当时，等号左边为负数，方程不成立，所给方程没有轨迹，C正确； 对于D，当且时， 若时，曲线表示焦点在轴上的双曲线，半焦距，曲线的焦距为， 若时，曲线表示焦点在轴上的椭圆，半焦距，曲线的焦距为，D正确. 故选：ACD 【跟踪练习】 练习1．已知是双曲线的一个焦点，则 ． 【答案】 【详解】显然，则双曲线方程为，即， 因为是双曲线的一个焦点， 所以，解得. 故答案为：. 练习2．若双曲线与椭圆的焦点相同，且过点，则该双曲线的标准方程为 . 【答案】 【详解】可化为，其焦点为和， 所以双曲线焦点为和，即， 故设双曲线方程为， 因其过点，代入可得，解得或（舍去）， 故双曲线的方程为. 故答案为:. 练习3．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)与椭圆有公共焦点，且过点； (2)焦点在y轴上，焦距为8，渐近线斜率为； (3)经过点，且一条渐近线的方程为． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）∵椭圆的焦点（0，±3）， ∴由题意设所求双曲线为， ∵双曲线过点， ∴，整理得， 解得或（舍去）， ∴所求双曲线方程为． （2）设双曲线的标准方程为（a，b＞0）， 则渐近线为，            ∵焦距为8，渐近线斜率为， ∴，， 又，所以，， ∴双曲线的标准方程为， （3）因为双曲线的一条渐近线的方程为， 所以设双曲线方程为，又双曲线过点， 所以，解得， 所以双曲线方程为． 练习4．若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】因方程表示焦点在x轴上的双曲线， 则有，解得， 故答案为：. 重难点03双曲线的焦点三角形 【解题必备】利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条件的变形使用，二是要特别注意与的关系. 例5．设，是双曲线C：的左，右焦点，过的直线与y轴和C的右支分别交于点P，Q，若是正三角形，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【详解】根据双曲线定义有， 由于点P在线段的垂直平分线上，∴， 又，，故． 故选：C. 例6．已知在双曲线上，其左、右焦点分别为、，三角形的内切圆切轴于点，则的值为 ． 【答案】 【详解】因为在双曲线上，所以，解得， ∴，则、， 如图，设，内切圆与轴的切点是点，、与内切圆的切点分别为、， ∵由双曲线的定义可得， 由圆的切线长定理知，，，， 故，即，故， ∴，即，则，， ∴， 故答案为：． 【跟踪练习】 练习1．已知双曲线的左、右焦点分别为、，过坐标原点的直线与双曲线C交于A、B两点，若，则（    ） A． B． C． D．4 【答案】A 【详解】如图， 因为双曲线，所以， 由双曲线的对称性知， 所以， 由双曲线定义可得， 所以，又， 所以，即， 所以, 故， 故选：A 练习2．已知分别为双曲线的左､右焦点，过的直线与双曲线的左支交于两点，若，则双曲线的焦距为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，由于， 有4，可得， 又由，可得，设， 在中，由余弦定理有. 在中，由余弦定理有. 又由，有， 可得，解得，所以双曲线的焦距为. 故选：B.    练习3．已知点P在双曲线C：上，，别是双曲线C的左、右焦点，若的面积为20，则点P到x轴的距离为 且 ． 【答案】 4 【详解】由已知得双曲线的实半轴长为，虚半轴长为， 则右焦点的横坐标为，设点， 则，所以，点P到x轴的距离为4， 由双曲线的对称性，不妨取点P的坐标为，得， 由双曲线的定义，得， 所以． 故答案为： 练习4．已知，分别为双曲线：的左、右焦点，为右支上一点，且，则的面积为 . 【答案】6 【详解】由，得，则， 因为为右支上一点，所以， 因为，所以， 由余弦定理得， 因为，所以， 所以的面积为. 故答案为：6 重难点04双曲线中的最值与范围 【解题必备】（1）若定点与双曲线右焦点在双曲线右支的同侧，则的最小值是，最大值不存在； （2）若定点与双曲线右焦点在双曲线右支的异侧，则的最小值是，最大值不存在． 例7．若点在曲线上，点在曲线上，点在曲线上，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在双曲线中，，，，易知两圆圆心分别为双曲线的两个焦点， 记点、，当取最大值时，在双曲线的左支上， 所以，. 故选：B. 例8．已知是双曲线上的点，为双曲线的右焦点，点的坐标为，则的最小值是 ． 【答案】/ 【详解】由已知可得，，， 所以，，，.    如图，设双曲线左焦点为， 因为点在双曲线右支内部，要使最小，则点应在双曲线的右支上. 根据双曲线的定义可得，， 所以，. 所以，. 由图象可知，当三点共线且如图示位置时，有最小值. 又，所以， 所以，有最小值， 即有最小值. 故答案为：. 【跟踪练习】 练习1．双曲线的右焦点为，点A的坐标为，点为双曲线左支上的动点，且周长的最小值为，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 如下图所示：    设该双曲线的左焦点为点，由双曲线的定义可得， ，又，当且仅当A，P，F三点共线时等号成立. 所以，的周长为， 当且仅当A，P，F三点共线时，的周长取得最小值，即，解得． 故选：D． 练习2．已知点是双曲线右支上的一点，点、分别是圆和上的点，求的最大值． 【答案】 【详解】，，，则， 故双曲线的两个焦点为，， ，也分别是两个圆的圆心，两圆的半径分别为， 所以，， 则 ， 即的最大值为．    练习3．已知为曲线上任意一点，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，所以为双曲线的右支， 为该双曲线的左焦点．设右焦点为，则， 所以．所以， 当且仅当点在线段上时，等号成立，所以的最小值为． 故选：D. 练习4．设圆与两圆中的一个内切，另一个外切． (1)求的圆心轨迹的方程； (2)已知点，且为上动点．求的最大值． 【答案】(1) (2)2 【详解】（1）两圆的圆心分别为，，半径为2，设圆的半径为．由题意得或，两式相减得或，即． 则圆的圆心轨迹为双曲线，其中，， 圆的圆心轨迹的方程为． （2）由（1）知为双曲线的一个焦点，如图，连接并延长交双曲线于一点，此时为的最大值． 又， 的最大值为2． 重难点05双曲线的几何性质 【解题必备】由双曲线的标准方程求双曲线的有关性质，首先要将双曲线方程化为标准形式或，确定的值，进而求出，再根据双曲线的几何性质得到相应的答案. 例9．已知双曲线与，下列说法正确的是（　　） A．两个双曲线有公共顶点 B．两个双曲线有公共焦点 C．两个双曲线有公共渐近线 D．两个双曲线的离心率相等 【答案】C 【详解】双曲线的焦点和顶点都在x轴上， 而双曲线的焦点和顶点都在y轴上，故A、B错误； 双曲线的渐近线方程为， 双曲线的渐近线方程为，故C正确； 双曲线的离心率， 而双曲线的离心率，故D错误. 故选：C. 例10．求适合下列条件的双曲线的标准方程. (1)实轴长为，离心率为; (2)已知双曲线的中心在原点，焦点，在坐标轴上，实轴长和虚轴长相等，且过点. 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）设双曲线的标准方程为或， 由题意知，且，∴，，， ∴标准方程为或. （2）由得，所以可设双曲线方程为， ∵双曲线过点，∴，即， ∴双曲线方程为， ∴双曲线的标准方程为. 【跟踪练习】 练习1．双曲线：与双曲线：的（    ） A．实轴长相等 B．焦点坐标相同 C．焦距相等 D．离心率相等 【答案】C 【详解】设双曲线的实半轴，虚半轴，半焦距分别为. 由双曲线的方程可得：,. 双曲线的实轴长分别是,,与参数t和m有关，所以实轴长不一定相等，故A错误； 因为双曲线的焦点在x轴上，双曲线的焦点在y轴上，所以焦点坐标不同，故B错误； 因为，∴∴，即两个双曲线的焦距相等，故C正确； 因为离心率，，，不一定相等，故离心率不一定相等，故D错误. 故选：C. 练习2．（多选）已知双曲线，下列选项正确的是（    ） A．双曲线的渐近线方程为 B．双曲线的实轴长为8 C．双曲线的焦距为 D．双曲线的离心率为 【答案】BD 【详解】因为，，焦点在轴上， 所以双曲线的渐近线方程为，实轴长为8，故A错误，B正确； 因为，所以双曲线的焦距为， 离心率为，故C错误，D正确． 故选：BD. 练习3．已知双曲线C渐近线方程为，两顶点间的距离为6，则该双曲线C的方程是 ． 【答案】或 【详解】当双曲线的焦点在轴上时，设双曲线C的方程为， 则，解得， 双曲线C的方程为； 当双曲线的焦点在轴上时，设双曲线C的方程为， 则，解得， 双曲线C的方程为； 综上：该双曲线C的方程是或. 故答案为：或 练习4．已知双曲线C：（，）与双曲线有相同的渐近线，且经过点． (1)求双曲线的方程； (2)求双曲线的实轴长，焦点坐标，离心率． 【答案】(1) (2)实轴长，焦点为，. 【详解】（1）在双曲线中，，， 则渐近线方程为， ∵双曲线与双曲线有相同的渐近线， ， ∴方程可化为， 又双曲线经过点，代入方程， ，解得，， ∴双曲线的方程为. （2）由（1）知双曲线中， ，，， ∴实轴长，离心率为， 双曲线的焦点坐标为. 重难点06双曲线的渐近线 【解题必备】根据双曲线的标准方程求它的渐近线方程的方法中，最简单且实用的是把双曲线标准方程中等号右边的“1”改成“0”，就得到了此双曲线的渐近线方程． 与双曲线有共同渐近线的双曲线方程可设为； 若已知双曲线的渐近线方程或，则双曲线方程可设为.(当时，焦点在轴上；当时，焦点在轴上.) 例11．已知双曲线以两个坐标轴为对称轴，且经过点和，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设双曲线：，点和在曲线上， ∴，两式相减可得，即. ∴渐近线方程为：， 故选：B. 例12．已知双曲线：（，）的右焦点为，左、右顶点分别为，，点在上且轴，直线，与轴分别交于点，，若（为坐标原点），则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知，因为轴， 所以令，可得，解得：，设， 直线的斜率为：， 所以直线的方程为：， 令可得，所以， 直线的斜率为： 所以直线的方程为：， 令可得，所以， 由可得，解得：, 所以，解得：，即 所以的渐近线方程为， 故选：C. 【跟踪练习】 练习1．已知双曲线：的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为双曲线的离心率为，所以，可得， 故双曲线的渐近线方程为． 故选：A. 练习2．如图，已知为双曲线的焦点，过作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且，则双曲线得渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意 所以， 所以，， 双曲线得渐近线方程为，即. 故选：B. 练习3．设为原点，为双曲线的两个焦点，点在上且满足，，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 设 ，由双曲线的定义知 ， 在 中，由余弦定理得：， 所以 ， 再由，为的中点，延长至，使， 所以四边形为平行四边形，且， 在中，由余弦定理知：， 在中，由余弦定理知：， 因为，则， 可知， 所以 ③， 由得，   把代入得， 化简得 ， 所以渐近线方程为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：由四点共圆的四边形四个边的平方和等于两条对角线的平方和是解决本题的关键. 练习4．已知双曲线的左、右焦点分别为，. 点A在双曲线上，点在轴上，，，则双曲线的渐近线方程为 . 【答案】 【详解】因为，所以三点共线， 又，所以为直角三角形， 记，则， 由双曲线定义和对称性可得， 则有，即， 解得或（舍去）. 记，则， 在中，由余弦定理得， 整理得，得 所以双曲线的渐近线方程为. 故答案为： 重难点07求双曲线的离心率 【解题必备】求解双曲线的离心率一般有两种方法 (1)由条件寻找所满足的等式，常用的公式变形为，其中； (2)依据条件列出含的齐次方程，利用转化为含或的方程，解方程即可，注意依据对所得解进行取舍. 例13．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点为在第一象限上的一点.若为直角三角形，，则的离心率为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【详解】由题意可得，由双曲线定义可得， 故， 若,则,即，化简可得，则， 若,则,即，化简可得，不符合题意舍去， 故选：C 例14．已知双曲线与直线相交于，两点，其中中点的横坐标为，则该双曲线的离心率为 . 【答案】 【详解】设，中点为，则，故， 因为，故， 所以，而， 故，故，故， 故答案为： 【跟踪练习】 练习1．已知双曲线 的两条渐近线互相垂直，则C的离心率为 . 【答案】 【详解】渐近线方程为， 因为两条渐近线互相垂直，所以，即， 所以离心率为， 故答案为：. 练习2．已知双曲线的左焦点为F ，过点F 的直线与双曲线C的左、右支分别交于点A、B， 若OA⊥AB，， 则该双曲线的离心率为 . 【答案】 【详解】 因为，设，， 所以， 因为，所以， 所以，即， 又因为， 所以， 所以，即，解得， 由，， 所以， 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：关键在于得到以及，由此即可顺利得解. 练习3．已知双曲线的左、右焦点分别为，若双曲线的左支上一点满足，以为圆心的圆与的延长线相切于点，且，则双曲线的离心率为 . 【答案】 【详解】由正弦定理可知且， 又因为，可解得， 又因为，所以为的中点，所以， 又因为以为圆心的圆与的延长线相切于点，所以， 所以， 又因为，所以， 所以，解得， 故答案为：. 练习4．双曲线：的左焦点为，右顶点为，点到渐近线的距离是点到渐近线距离的2倍，则的离心率为 . 【答案】2 【详解】由双曲线：，可得右焦点，右顶点， 其中一条渐近线的方程为，即， 则顶点到的距离为， 焦点到的距离为， 由题可得，即， 所以，所以双曲线的离心率为. 故答案为：2. 重难点08求双曲线离心率的取值范围 【解题必备】求双曲线离心率的取值范围，关键是根据条件得到不等关系，并转化为关于的不等关系，结合和得到关于的不等式，然后求解 例15．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，若在上存在点（不是顶点），使得，则的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设与y轴交于点，连接，则，得到， 因为，故P点在双曲线右支上，且， 故，而， 故， 在中，，即，故， 由，且三角形内角和为， 故，则， 即，即，所以的离心率的取值范围为， 故选：A. 例16．已知椭圆与双曲线有共同的焦点，，椭圆的一个短轴端点为B，直线与双曲线的一条渐近线平行，椭圆与双曲线的离心率分别为，，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】设椭圆的长轴为，短轴为，双曲线的实轴长为，虚轴长为， 因为椭圆的一个短轴端点为B，直线与双曲线的一条渐近线平行， 根据平行直线斜率相等得，，平方得，， 两边同时加1得，，即， 所以，所以，所以， 所以，当且仅当时等号成立， 因为，所以等号不能成立，所以. 故答案为：. 【跟踪练习】 练习1．已知双曲线的左、右焦点分别为，点在上，若，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，不妨设点在的右支上，由双曲线的定义可得， 即， 由，可得，即， 又由的最小值为（当点P为双曲线右顶点时取得最小值），可得，即． 当，即时，显然成立； 当，即时，，可得． 综上可知，双曲线的离心率的取值范围为． 故选：D. 练习2．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，M为双曲线右支上的一点，若M在以为直径的圆上，且，则该双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由于M在以为直径的圆上，故， 设，则，， 根据双曲线的定义， 所以， 所以，， 所以， 故在单调递增， 当时，， 当时，， 所以，所以， 故选：D．    练习3．已知F是双曲线（，）的右焦点，O是坐标原点，F是OP的中点，双曲线E上有且仅有一个动点与点P之间的距离最近，则E的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题知，，设是双曲线E上的一个动点，∴，即， ∴． 易知最小时，M为E的右顶点，则， ∴当时，在处取得最小值，不符合题意， 故，此时在处取得最小值，符合题意， 故． 故选：B． 练习4．已知，分别是双曲线的左、右焦点，过点且斜率为2的直线与的一条渐近线在第四象限相交于点，四边形为平行四边形.若直线的斜率，则的离心率的取值范围为 . 【答案】 【详解】由题意可得，， 由于为平行四边形，故, 直线的方程为，渐近线方程， 联立， 故, 所以， 因此，化简得， 故离心率为， 故答案为：    重难点09与双曲线有关的轨迹方程问题 例17．双曲线的另一种定义：动点与定点的距离和它与定直线：的距离的比是常数，则点的轨迹是一个双曲线.动点与定点的距离和它与定直线：的距离的比是，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，依题意，，化简整理得， 所以点的轨迹方程为. 故选：B 例18．已知向量，，点，，直线PD，QD的方向向量分别为，，其中，记动点D的轨迹为E，求E的方程 【答案】 【详解】设，则，， 又∵，， ∴，， 由已知得， 消得：， ∴点D的轨迹方程为. 【跟踪练习】 练习1．已知、为直线上的两个定点，，为上的动点．在平面直角坐标系中，、，以为圆心，为半径作圆；以为圆心，为半径作圆，则两圆公共点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如下图所示： 设圆、圆的半径分别为、，则，， 设两圆的一个公共点为，由题意可知，点不能与点或点重合， 若点在线段（不包括端点）上运动时，则， 事实上，，此时点不存在； 当点在以点为端点以的方向为方向的射线上时， 此时，； 当点在以点为端点且以的方向为方向的射线上时， 此时，. 综上，， 所以，动点的轨迹是以点、为焦点的双曲线， 设该双曲线的标准方程为，焦距为， 则，可得， 因此，两圆公共点的轨迹方程为. 故选：A. 练习2．过椭圆右焦点F的圆与圆O：外切，则该圆直径FQ的端点Q的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由椭圆，得椭圆半焦距，即有，则椭圆的左焦点为， 设以FQ为直径的圆的圆心为C，如图， 由圆O与圆C外切，得，又，， 则， 因此Q的轨迹是以、F为焦点，实轴长的双曲线的右支，即，， 所以双曲线方程：． 故选：C 练习3．如图，在矩形中，分别是矩形四条边的中点，点在直线上，点在直线上，，直线与直线相交于点，则点的轨迹方程为 . 【答案】 【详解】 以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系. 因为，所以 ， 所以 ，又因为 ， 所以 ，所以. 因为 ，所以直线的方程为 ①， 因为 ，所以直线的方程为 ②. 由①可得 ，代入②化简可得 ， 结合图象易知点可到达 ，但不可到达 ， 所以点的轨迹方程为 ， 故答案为： 练习4．已知两圆，，动圆C与圆外切，且与圆内切，求动圆圆心C的轨迹方程． 【答案】 【详解】因为圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径， 设动圆的半径为， 又因为动圆C与圆外切，且与圆内切， 则，可得， 可知点的轨迹是以点为焦点的双曲线的右支， 则，， 所以动圆圆心的轨迹方程为. 重难点10双曲线的实际问题 【解题必备】利用双曲线解决实际问题的基本步骤： （1）建立适当的坐标系；（2）求出双曲线的标准方程(待定系数法)；（3）根据双曲线的方程及几何性质解决实际问题． 例19．如图所示，某拱桥的截面图可以看作双曲线的图象的一部分，当拱顶M到水面的距离为米时，水面宽为米，则此双曲线的虚轴长为（    ）    A． B．2 C．3 D．6 【答案】D 【详解】由题意得，代入得，解得， 即，因此虚轴长为， 故选：D． 例20．中国景德镇陶瓷世界闻名，其中青花瓷最受大家的喜爱，如图1这个精美的青花瓷它的颈部（图2）外形上下对称，基本可看作是离心的双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面，若该颈部中最细处直径为16厘米，瓶口直径为20厘米，则颈部高为 厘米． 【答案】 【详解】依题意知： 又， 又瓶口直径为20厘米，代入双曲线方程得： 高为20厘米 故答案为：20 【跟踪练习】 练习1．、、是海上三个救援中心，在的正东方向，相距，在的北偏西，相距，为海面上一艘油轮．某一时刻，发现的求救信号，由于、两地比距地远，因此后，、两地才同时发现这一信号，该信号的传播速度为． (1)若救援，求在处发现的方位角； (2)若信号在空间中被发现，的位置在何处时，才能使、收到的时间差小于．（只需写出一种位置即可） 【答案】(1)点在点的北偏东处 (2)位于地的正上空 【详解】（1）解：由题意可知，、、、是在同一海平面上， 因为，所以在线段的垂直平分线上． 以线段中点为坐标原点，所在直线为轴， 过点且垂直于的直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 则、、，    又因为， 所以，点在以、为焦点的双曲线上的右支上． 设双曲线的方程为， 则，可得，，则， 所以双曲线方程为， 直线的斜率为，线段的中点为， 所以，线段中垂线方程为，即． 联立可得， 解得，（舍去），所以， 直线的斜率为，直线的倾斜角为， 故点在点的北偏东处． （2）解：如下图所示： 设，，． 因为 ， 又因为，所以． 所以，只需位于地的正上空，就可使、收到的信号差小于． 练习2．体育馆等建筑的屋顶一般采用曲面结构．如图所示，某建筑的屋顶采用双曲面结构，该建筑屋顶外形弧线可看作是双曲线上支的部分，其渐近线方程为，上焦点坐标为，那么该双曲线的标准方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设双曲线的标准方程为， 因为该双曲线的渐近线方程为，则， 又因为该双曲线的上焦点坐标为，则， 所以，，，因此，该双曲线的方程为. 故选：B. 练习3．圆锥曲线的光学性质在实际生活中有着广泛的应用．我国首先研制成功的“双曲线电瓶新闻灯”就是利用了双曲线的光学性质，即从双曲线的一个焦点射出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都经过双曲线的另一个焦点．如图，已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，当入射光线和反射光线PE互相垂直时（其中P为入射点），，则该双曲线的离心率为（    ）    A． B．2 C． D． 【答案】B 【详解】设双曲线C的焦距为，因为，， 所以，， 所以，故该双曲线的离心率为． 故选：B 练习4．如图，唐金筐宝钿团花纹金杯出土于西安，这件金杯整体造型具有玲珑剔透之美，充分体现唐代金银器制作的高超技艺，是唐代金银细工的典范之作．该杯主体部分的轴截面可以近似看作双曲线的一部分，设该双曲线的方程为，右焦点为，过点的直线与双曲线的右支交于两点，且，点关于原点的对称点为点，若，则双曲线的离心率为 ． 【答案】/ 【详解】如图所示，设双曲线的左焦点为点，连接，设，则， 由双曲线的定义可得， 由于，则,又，则四边形为矩形， 在中，由勾股定理得，即， 解得， 在中，由勾股定理得，即， ． 故答案为：. 重难点11双曲线的综合问题 例21．（多选）已知双曲线E:的左、有焦点分别是，离心率为2，过右焦点的直线交双曲线E的右支于A，B两点，的内切圆圆心为M，则下列结论正确的是（    ） A．双曲线E的渐近线方程为 B．直线与双曲线E的左、右两支各有一个交点 C．的最小值为 2a D．M在定直线上 【答案】BCD 【详解】由题可知，所以，故双曲线的渐近线方程为，直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，A错误，B正确． 当垂直于轴时，取得最小值，最小值为，故C正确． 设圆分别与相切于点，则．因为， 所以．令的横坐标为，则，即为双曲线的右顶点， 即在定直线上，故D正确． 故选： 【点睛】关键点睛：本题的关键是利用圆的切线长定理、双曲线的定义. 例22．在以为坐标原点的平面直角坐标系中，双曲线：的虚轴长为4，一条渐近线方程为，直线：交双曲线于、两点，为直线上一点且.点为直线与轴的交点. (1)求双曲线的方程和焦距； (2)若线段上一动点满足，求直线与的斜率之积. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）由题意知得，，，， ∴双曲线的方程为，焦距为. （2）由，可得， 则， 所以，. 因为直线与双曲线交于轴上方的、两点， 所以，解得， 所以， 所以，所以，由， 可得，解得， 所以，所以， 所以，于是. 【跟踪练习】 练习1．设为双曲线上一点，两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一､四象限.若，则的面积为 . 【答案】2 【详解】双曲线的渐近线为，由题设可设， 而，故为的中点，故， 而在双曲线上，故即， 又到渐近线的距离为， 到渐近线的距离为， 故的面积为 ， 故答案为：2 练习2．已知双曲线的离心率为，且的一个焦点到其一条渐近线的距离为1. (1)求双曲线的方程； (2)设点为的左顶点，若过点的直线与的右支交于两点，且直线与轴分别交于两点，记四边形的面积为的面积为，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可知，的一条渐近线方程为，右焦点为， 右焦点到渐近线的距离，解得， 由离心率，又，解得， 双曲线的方程为. （2）设直线的方程为：， 联立， 恒成立，， 直线与双曲线的右支交于两点，，解得. ， .    练习3．已知双曲线，点，坐标原点. (1)直线经过点A，与的两条渐近线分别交于点.若面积为，求直线的方程； (2)如图，直线交双曲线的右支于不同两点.若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）对于双曲线，可知，且焦点在x轴上， 则双曲线的渐近线为，且直线的斜率为，倾斜角为， 设， 联立方程，解得，即， 可得， 同理可得， 则，解得， 所以直线的方程为. （2）由（1）可知：或， 因为，则线段的中垂线经过A点， 设的中点为， 则，且，， 因为，两式作差得， 整理可得，即，可得， 又因为，则， 联立方程，解得，即， 因为点在双曲线右支上，且在右支的内部， 则，所以.且在上， 则，可得， 所以实数的取值范围为. 练习4．已知双曲线的实轴长为，右焦点到一条渐近线的距离为1. (1)求的方程； (2)过上一点作的两条渐近线的垂线，垂足分别为， （i）若为双曲线的右顶点，求三角形的面积 （ii）若，求点的坐标. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）或或或 【详解】（1）双曲线实轴长为，故， 双曲线的一条渐近线方程为， 则，故双曲线的方程为. （2）（i）在三角形中，Q到渐近线的距离， 根据双曲线的对称性，， 所以 （ii）设，则，设Q到直线距离为， 同理，所以① 又因为②，由①②解得或， 当时，得或， 又，则或， 解得或，同理有或， 所以点或或或. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$