北京市东直门中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

北京市东直门中学2023-2024 学年度第一学期期中考试 初三数学 考试时间：120分钟 总分100分 一、选择题（本题共16分，每小题2分） 1. “瓦当”是中国古建筑中覆盖檐头筒瓦前端的遮挡，主要有防水、排水、保护木制飞檐和美化屋面轮廓的作用．瓦当上的图案设计优美，字体行云流水，极富变化，是中国特有的文化艺术遗产．下面“瓦当”图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标为( 　　　) A. B. C. D. 3. 在△ABC中，，点O为AB中点．以点C为圆心，CO长为半径作⊙C，则⊙C 与AB的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定 4. 如图，四边形是的内接四边形，，则的度数是　　 A. 110° B. 90° C. 70° D. 50° 5. 若一个扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A. B. 且 C. D. 且 7. 如图，将绕着点顺时针旋转后得到．若，则度数是（ ） A B. C. D. 8. 如图，线段AB＝5，动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿线段AB运动至点B，以点A为圆心，线段AP长为半径作圆．设点P的运动时间为t，点P，B之间的距离为y，⊙A的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（ ） A. 正比例函数关系，一次函数关系 B. 一次函数关系，正比例函数关系 C 一次函数关系， 二次函数关系 D. 正比例函数关系，二次函数关系 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣2，3），若点A与点B关于原点O对称，则B点的坐标为____． 10. 请写出一个开口向上，且经过点的二次函数解析式：________． 11. 参加足球联赛的每两个队都进行2场比赛，共要比赛90场，共有多少个队参加比赛？设参加比赛的有x个队，根据题意，可列方程为________． 12. 把抛物线向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为________． 13. 如图，在中是直径，，，，那么的长等于________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点，，若抛物线与线段有公共点，则的取值范围是___________． 15. 如图所示的网格是正方形网格，线段AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）后与⊙O相切，则α的值为_____． 16. 某快递员负责为，，，，五个小区取送快递，每送一个快递收益1元，每取一个快递收益2元，某天5个小区需要取送快递数量下表． 小区 需送快递数量 需取快递数量 15 6 10 5 8 5 4 7 13 4 （1）如果快递员一个上午最多前往3个小区，且要求他最少送快递30件，最少取快递15件，写出一种满足条件的方案______（写出小区编号）； （2）在（1）的条件下，如果快递员想要在上午达到最大收益，写出他的最优方案______（写出小区编号）． 三、解答题（本题共68分，17题5分，18题每小题4分，第19—25题，每小题5分，26题6分，第27、28题，每小题7分） 17. 计算：． 18. 解一元二次方程： （1）解方程： （2）解方程：（配方法） 19. 下面是小亮设计的“过圆上一点作已知圆的切线”的尺规作图过程． 已知：点A在上． 求作：直线PA和相切． 作法：如图， ①连接AO； ②以A为圆心，AO长为半径作弧，与的一个交点为B； ③连接BO； ④以B为圆心，BO长为半径作圆； ⑤作的直径OP； ⑥作直线PA． 所以直线PA就是所求作的的切线． 根据小亮设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明： 证明：在中，连接BA． ∵，， ∴． ∴点A在上． ∵OP是的直径， ∴（______）（填推理的依据）． ∴． 又∵点A在上， ∴PA是的切线（______）（填推理的依据）． 20. 如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分．如果M是中弦的中点，EM经过圆心O交于点E，，，求的半径． 21. 已知二次函数． （1）二次函数图象与轴的交点坐标是 　　，轴的交点坐标是 　　，顶点坐标是 　　； （2）在平面直角坐标系 中，画出二次函数的图象； （3）当时，结合函数图象，直接写出的取值范围 　　． 22. 如图，点A的坐标为(3，2)，点B的坐标为(3，0)，作如下操作：以点A为旋转中心，将ABO顺时针方向旋转90