向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇讲义-2024届高三数学二轮复习

向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇 一、四心的概念介绍 （1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直； （3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等； （4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。 二、四心与向量的结合 （1）是的重心. 证法1：设 是的重心. 证法2：如图 三点共线，且分 为2：1 是的重心 （2）为的垂心. 证明：如图所示O是三角形ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC， D、E是垂足. 同理， 为的垂心 （3）设,,是三角形的三条边长，O是ABC的内心 为的内心. 证明：分别为方向上的单位向量， 平分, )，令 （) 化简得 （4）为的外心。 典型例题： 例1：是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足， ，则点的轨迹一定通过的（ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 分析：如图所示，分别为边的中点. // 点的轨迹一定通过的重心，即选. 例2：是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足， ，则点的轨迹一定通过的（ B ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 分析：分别为方向上的单位向量， 平分, 点的轨迹一定通过的内心，即选. 例3：是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足， ，则点的轨迹一定通过的（ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 分析：如图所示AD垂直BC，BE垂直AC， D、E是垂足. = = =+=0 点的轨迹一定通过的垂心，即选. 练习： 1．已知三个顶点及平面内一点，满足，若实数满足：，则的值为（ ） A．2 B． C．3 D．6 2．若的外接圆的圆心为O，半径为1，，则( ) A． B．0 C．1 D． 3．点在内部且满足，则面积与凹四边形面积之比是（ ） A．0 B． C． D． 4．的外接圆的圆心为O，若，则是的（ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 5．是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，若，则是的（ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 6．的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，， 则实数m = 7．已知非零向量与满足(+)·=0且·= , 则△ABC为( ) A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形 C．等腰非等边三角形 D．等边三角形 8．已知三个顶点，若，则为（ ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．既非等腰又非直角三角形 练习答案：C、D、C、D、D、1、D、C 学科网（北京）股份有限公司 $$