专题2-6 导数大题证明不等式归类（16题型+解题攻略）-2024年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（新高考通用）

专题2-6 导数大题证明不等式归类 目录 题型01 不等式证明方法 1 题型02 单变量构造：利用第一问结论 2 题型03 单变量构造：数列型 3 题型04 数列不等式：无限和裂项型 4 题型05 数列不等式：累积相消型 5 题型06 数列不等式：取对数型 6 题型07 虚设根型证不等式 6 题型08 利用函数“凸凹反转性”证明不等式 7 题型09 同构型不等式证明 8 题型10 双变量型构造 9 题型11 极值点偏移型：和型证明 10 题型12 极值点偏移型：积型证明 11 题型13 极值点偏移型：平方型证明 12 题型14 三角函数型不等式证明 12 题型15 韦达定理代换型 13 题型16 切线放缩型证明 14 高考练场 14 题型01 不等式证明方法 【解题攻略】 利用导数证明不等式问题，基本思维方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 利用导数证明不等式的基本步骤 (1)作差或变形； (2)构造新的函数； (3)利用导数研究的单调性或最值； (4)根据单调性及最值，得到所证不等式． 特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题． 【典例1-1】（陕西省澄城县20121-2022学年高三试数学（理）试题）设函数． (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，． 【典例1-2】已知函数. (Ⅰ)求函数的单调区间； (Ⅱ)求证：当时，. 【变式1-1】（湖南省三湘名校教育联盟2021-2022学年高三数学试题）已知函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求a，b的值； (2)证明：． 【变式1-2】（湖北省华中师范大学潜江附属中学2021-2022学年高三4月数学试题）已知函数f（x）＝ax3﹣3lnx. (1)若a＝1，证明：f（x）≥1； (2)讨论f（x）的单调性. 【变式1-3】（2022·云南昆明·统考模拟预测）已知函数，． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：． 题型02 单变量构造：利用第一问结论 【解题攻略】 一些试题，可以通过对第一问分类讨论，得出一些不等式放缩式子或者放缩方向 1.可以利用第一问单调性提炼出不等式 2.可以利用第一问极值或者最值提炼出常数不等式 3.可以利用题干和第一问结论构造新函数（新不等式） 【典例1-1】（2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）已知函数. (1)求的最小值； (2)证明：. 【典例1-2】（2021下·北京丰台·高三统考）已知函数在处有极值2． （Ⅰ）求，的值； （Ⅱ）证明：． 【变式1-1】（2021·四川·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）设函数，其中为自然对数的底数，曲线在处切线的倾斜角的正切值为． （1）求的值； （2）证明：． 【变式1-2】（2022下·山东聊城·高三练习）已知函数. (1)讨论的单调性并求极值； (2)证明：当时，. 【变式1-3】（20122安徽马鞍山·统考模拟）已知函数. (1)若在定义域内无极值点，求实数的取值范围； (2)求证：当时，恒成立. 题型03 单变量构造：数列型 【解题攻略】 数列型不等式证明 1. 对于n型数列不等式证明，可以转化为定义域为X1,在实数范围内证明不等式。 2. 一些特殊形式的数列不等式，可以通过选择合适的换元，构造新函数，注意因为n的正整数属性，注意对应换元的取值范围 3. 数列型不等式的证明，一般需要联系前面第一问的结论，对要证明的不等式进行适当的拆分凑配来证明 【典例1-1】（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知函数． (1)证明：； (2)讨论的单调性，并证明：当时，． 【典例1-2】2012·河北衡水·统考一模）设函数,其中． (1)当时，在时取得极值，求； (2)当时，若在上单调递增，求的取值范围； (3)证明对任意的正整数,不等式都成立． 【变式1-1】2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）设函数，其中和是实数，曲线恒与轴相切于坐标原点． 求常数的值； 当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围； 求证：． 【变式1-2】（2023上·河南南阳·高三统考期中）（1）已知函数，判断函数的单调性并证明； （2）设为大于1的整数，证明：. 【变式1-3】（2017下·黑龙江大庆·高三大庆中学校已知函数； (1)若函数在上为增函数，求正实数的取值范围； (2)当时，求函数在上的最值； (3)当时，对大于1的任意正整数，试比较与的大小关系． 题型04