5.3.1 函数的单调性（教学课件）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第二册）

选修第二册 第五章《一元函数的导数及其应用》 5.3导数在研究函数中的应用 已经解决了怎么求导数，接下来就学习导数有什么用。 选修第二册 第五章《一元函数的导数及其应用》 5.3.1函数的单调性 已经解决了怎么求导数，接下来就学习导数有什么用。 1.导数正负与函数单调性的关系 探究1：函数的单调性与导数正负的关系 观察下列函数图象，探讨函数的单调性与导数的正负的关系. x∈(-∞,0)时，f '(x)=2x<0 f(x)在R上单调递增 f(x)在(-∞,0)上单调递减 x∈R时，f '(x)=1>0 x∈(0,+∞)时，f '(x)=2x>0 f(x)在(0,+∞)上单调递增 x y O f (x)＝x x y O f (x) ＝x2 x y O f (x) ＝x3 x∈(-∞,0)时，f '(x)=3x2>0 f(x)在(-∞,0)上单调递增 x∈(0,+∞)时，f '(x)=3x2>0 f(x)在(0,+∞)上单调递增 探究1：函数的单调性与导数正负的关系 观察下列函数图象，探讨函数的单调性与导数的正负的关系. x∈(-∞,0)时，f '(x)=<0 f(x)在(-∞,0)上单调递减 x∈(0,+∞)时，f '(x)=<0 x y O f(x)在(-∞,0)上单调递减 探究1：函数的单调性与导数正负的关系 为什么函数的单调性与导数的正负之间有这样的关系？ 在x=x1处，f (x1)<0； 函数f (x)的图象在x1附近递减 切线呈“左上右下”式下降 在区间I上， f ′(x)<0 在区间I上，f (x)单调递减 函数f (x)的图象在x0附近递增 在区间I上， f ′(x)>0 在区间I上，f (x)单调递增 在x=x0处，f (x0)>0； 切线呈“左下右上”式上升 新知1：函数f (x)的单调性与导数f ′(x)正负的关系 在某个区间(a,b)内, 若f '(x)>0，则函数y=f (x)在区间(a,b)内单调递增; 若f '(x)<0，则函数y=f (x)在区间(a,b)内单调递减. 注：①若在某个区间内恒有f '(x)=0，则函数y=f (x)有什么特性? f (x)是常函数. 在区间I上， f ′(x)>0 在区间I上，f (x)单调递增 思考：上述关系反之是否成立？ 在区间I上，f (x)单调递增 在区间I上， f ′(x)>0 x y O f (x) ＝x3 在R上，f (x)=x3单调递增 在R上， f ′(x)=3x2≥0 ②f ′(x)>0是f(x)单调递增的充分不必要条件. 当且仅当x=0时 f ′(x)=0 新知1：f ′(x)的正负与f (x)的单调性的关系 在某个区间(a,b)内, 若f '(x)>0，则函数y=f (x)在区间(a,b)内单调递增; 若f '(x)<0，则函数y=f (x)在区间(a,b)内单调递减. 注：①若在某个区间内恒有f '(x)=0，则函数y=f (x)有什么特性? f (x)是常函数. x y O f (x) ＝x3 ②f ′(x)>0是f (x)单调递增的充分不必要条件. 如：f (x)=x3在R上单调递增， 而f '(x)≥0.(当且仅当x=0时f '(x)=0) 巩固1：利用导数判断函数的单调性 例1.利用导数判断下列函数的单调性，并画出大致图象： 性质法：增+增=增,奇函数 观察法： 注：③函数f(x)的单调区间有多个时一般用“和”连接，不能用“∪” 巩固1：利用导数判断函数的单调性 例1.利用导数判断下列函数的单调性，并画出大致图象： 巩固1：利用导数判断函数的单调性(三次函数) 利用导数判断函数单调性的步骤： ①求f(x)的定义域; ②求f '(x); ③令f '(x)>0得增区间，令f '(x)<0得减区间. 巩固1：利用导数判断函数的单调性(三次函数) x (﹣∞,﹣1) ﹣1 (﹣1,2) 2 (2,+∞) f ′(x) f(x) + 0 ﹣ + 0 单调递增 单调递减 单调递增 利用导数正负判断函数的单调性 巩固1：利用导数判断函数的单调性 巩固1：利用导数判断函数的单调性 巩固1：利用导数判断函数的单调性 巩固1：利用导数判断函数的单调性 利用导数求函数的单调区间 巩固2：导数图象与函数图象的关系 例3.已知导函数的下列信息，试画出函数f (x)图象的大致形状. 当1<x<4时， f ′(x)>0； 当x<1, 或x>4时， f ′(x)<0； 当x=1, 或x=4时， f ′(x)=0. [变式1]如图为y＝f ′(x)的图象，则函数y＝f(x) 的单调递减区间是(　　) A．(－∞,－1) B．(－2,0) C．(－2,0)和(2,＋∞) D．(－∞,－1)和(1,＋∞)