5.3.1函数的单调性(第2课时)（同步教学课件）-【大单元教学】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第二册）

人教版2019高一数学（选修二） 第四章　数列 5.3.1函数的单调性(第2课时) 人教版2019高一数学（选修二） 第五章一元函数的导数及其应用 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂小结 随堂检测 错因分析 学习目标 1．掌握利用导数判断函数的单调性的一般步骤． 2．探究函数增减的快慢与导数的关系． 3. 学会处理含参函数的单调性问题 函数的单调性与其导函数的关系 (1)在某个区间(a，b)上，如果________，那么函数y＝f(x)在这个区间上单调递增； (2)在某个区间(a，b)上，如果________，那么函数y＝f(x)在这个区间上_________； (3)在某个区间(a，b)上，如果恒有________，那么函数y＝f(x)在这个区间上为常函数． f′(x)＞0　 f′(x)＜0　 单调递减　 f′(x)＝0　 复习导入 思考：请同学们回顾一下函数单调性的定义，并思考在某个区间上单调的函数 的平均变化率的几何意义与的正负的关系. 一般地，设函数的定义域为：如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，，当时，都有，那么就说函数在区间上是增(减)函数.如果一个函数在某区间上是增函数或是减函数，那就说这个函数在该区间上具有单调性.上述定义也可以理解为：在区间上，当时，函数是增函数；当时，函数在区间上是减函数，而是函数在区间上的平均变化率，其几何意义是指曲线过点，的割线的斜率. 新知探究 思考：请同学们回顾一下函数单调性的定义，并思考在某个区间上单调的函数 的平均变化率的几何意义与的正负的关系. 一般地，设函数的定义域为：如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，，当时，都有，那么就说函数在区间上是增(减)函数.如果一个函数在某区间上是增函数或是减函数，那就说这个函数在该区间上具有单调性.上述定义也可以理解为：在区间上，当时，函数是增函数；当时，函数在区间上是减函数，而是函数在区间上的平均变化率，其几何意义是指曲线过点，的割线的斜率. l l 思考：请同学们回顾一下函数单调性的定义，并思考在某个区间上单调的函数 的平均变化率的几何意义与的正负的关系. 由此可见，当区间的长度很小时，平均变化率就可以近似地反映函数在这个区间上的单调性，而当时，平均变化率的极限是函数在处的导数.故当函数在某个区间内的导数大于零时，函数在此区间内单调递增；当导数小于零时，函数在此区间内单调递减. l 判断函数y=f(x)的单调性的步骤： 第1步，确定函数的定义域； 第2步，求出导数f′(x)的零点； 第3步，用f'(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f'(x)在各区间上的正负，由此得出函数y=f(x)在定义域内的单调性. 探究 研究对数函数y=lnx与幂函数y=x3在区间(0,＋∞)上增长快慢的情况. x y O (2) x y O 1 • (1) 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图象就比较“平缓”. 总结：函数的单调性与其导函数的正负的关系： 注意：此关系常常用于已知函数的单调性，求函数中参数的取值范围. 在某个区间(a, b)内 反之 思考 结合函数单调性的定义，思考在某个区间上单调的函数y=f(x)的平均变化率的几何意义与f'(x)的正负的关系. 一般地，设函数y=f(x)的定义域为A，区间M A，在区间M中任取两个值x1, x2，当改变量∆x=x2-x1>0时，有∆y=f(x2)-f(x1)>0，那么就称函数y=f(x)在区间M上是增函数. 如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，那么就说这个函数在这个区间M上具有单调性. 在区间(a, b)上,任取A(x1, f(x1)), B(x2, f(x2))两点,则函数f(x)的平均变化率为 其几何意义为直线AB的斜率. 若f(x)在区间(a, b)上是增函数，则其斜率为正,其导数为正；若f(x)在区间(a, b)上是减函数，则其斜率为负，其导数也为负. 概念归纳 判断函数y=f(x)的单调性的步骤： 第1步，确定函数的定义域； 第2步，求出导数f′(x)的零点； 第3步，用f'(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f'(x)在各区间上的正负，由此得出函数y=f(x)在定义域内的单调性. 概念归纳 函数的单调性与其导函数的正负的关系： 在某个区间(a, b)内 反之 注意：此关系常常用于已知函数的单调性，求函数中参数的取值范围. 课本例题 例1.求函数的单调区间. 解：函数的定义域为.对求导数，得： 令，解得，或. 和把函数定义域划分成三个区间，在各区间上的正负，以及的单调性如表所示. 所以，在和上单调递增，在内单调递减，如图所示. 单调递增 单调递减 单调递增 课本练习 1. 判断下列函数的单调性，并求出单调区间: 解： x (－∞, －1) －1 (－1, 1) 1 (1, －∞) f′(x) f(x) x y O -1 • 1 • 1. 判断下列函数的单调性，并求出单调区间: 解： x 1 (1, －∞) f′(x) f(x) x y O • 1 • 17 证明： 3. 函数y=f′(x)的图象如图所示，试画出函数y=f(x)图象的大致形状. x y O a b e d c 解： x y O a b e d c 【解题探究】根据导数与函数单调性的关系求解． 素养点睛：考查数学运算和逻辑推理核心素养． 补充练习 概念归纳 利用导数证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是证明不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立，这时一般是先将函数的导数求出来，然后对其进行整理、化简、变形，根据不等式的相关知识，在给定区间上判断导数的正负，从而得证．要注意若恒有f′(x)＝0，则y＝f(x)是常数函数，不具有单调性． 【解题探究】利用求导的方法确定函数的单调性比较方便． 素养点睛：考查数学运算和逻辑推理核心素养． 【答案】(1)D　 (2)解：∵f(x)＝x3－3x，∴所以函数定义域为R． 方法一：令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝1． x＝－1和x＝1把函数定义域划分成三个区间，f′(x)在各区间上的正负，以及f(x)的单调性如下表所示． x (－∞，－1) －1 (－1,1) 1 (1，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 递增 2 递减 －2 递增 ∴f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增，在(－1,1)上单调递减． 方法二：∴f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)． 令f′(x)＞0，解得x＜－1或x＞1， ∴f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)． 令f′(x)＜0，解得－1＜x＜1， ∴f(x)的单调递减区间为(－1,1)． 故f(x)在区间(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在区间(－1，1)上单调递减． 概念归纳 我们把方法一叫“列表法”，主要是利用f′(x)零点列表求函数单调区间，具体解题步骤参考教材P88；方法二叫“解不等式法”，具体步骤如下： (1)确定定义域； (2)求导数f′(x)； (3)通过解f′(x)＞0或f′(x)＜0来求出单调区间．如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么这些单调区间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字隔开． 题型3　利用导数判断函数图象 (2021年昆明模拟)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是 (　　) 素养点睛：本题考查数学的逻辑推理以及数学直观核心素养． 【答案】A　 【解析】　设f′(x)图象与x轴的交点横坐标从左到右依次为a，b，c(a＜b＜c)，如图． 由f′(x)图象知，当x＜a或b＜x＜c时，f′(x)＞0，函数为增函数，当a＜x＜b或x＞c时，f′(x)＜0，函数为减函数，对应图象为A． 概念归纳 在导函数图象中，在x轴上方区域对应原函数单调递增区间；在x轴下方区域对应原函数递减区间． 素养点睛：本题考查数学的逻辑推理以及数学运算核心素养． 概念归纳 含参数的函数的单调性问题要先弄清参数对导函数f′(x)在等区间内的符号是否有影响，若有影响，则必须分类讨论： (1)由二次函数型引发的分类讨论．讨论分以下四个方面：①二次项系数讨论；②根的有无讨论；③根的大小讨论；④根在不在定义域内讨论． 概念归纳 (2)由定义域或给定区间引发的分类讨论(如导函数的零点是否在定义域或给定区间内？零点将定义域或给定区间划分为哪几个区间？若不能确定，则需分类讨论)． (3)由导函数的零点含有参数引发的分类讨论(如零点大小，零点与定义域的关系等)． 易错警示　不能抓住图象的关键特征致误 如果函数y＝f(x)的图象如下图所示，那么导函数y＝f′(x)的图象可能是 (　　) A　　　　　 B　　　　　 C 　　　　 　D 【错解】C 【错因分析】原函数与导函数的图象关系理解不深刻，凭空乱猜． 【正解】由原函数的图象可知，函数先增再减，再增再减，故导函数值应是先正再负，再正再负，故选A． 【警示】判断函数f(x)与其导函数f′(x)的图象，关键是抓住f(x)的增减性与f′(x)的正负的对应关系． 课堂小结 1.函数单调性与导数符号的关系是： 2.判定函数单调性的步骤： ①求出函数的定义域； ②求出函数的导数f (x)； ③判定导数f (x)的符号； ④确定函数f(x)的单调性. 题型1　利用导数判断或证明函数的单调性 　　　　求证：函数f(x)＝eq \f(ln x,x)在区间(0,2)上单调递增． 证明：f′(x)＝eq \f(\f(1,x)·x－ln x,x2)＝eq \f(1－ln x,x2)． ∵0＜x＜2，∴ln x＜ln 2＜1,1－ln x＞0． ∴f′(x)＝eq \f(1－ln x,x2)＞0． 根据导数与函数单调性的关系，可得函数f(x)＝eq \f(ln x,x)在区间(0,2)上单调递增． 题型2　求函数的单调区间 　　　　(1)已知函数f(x)＝eq \f(1,2)x2－x，则函数f(x)的单调递增区间是 (　　) A．(－∞，－1)和(0，＋∞) B．(0，＋∞) C．(－1,0)和(1，＋∞) D．(1，＋∞) (2)求函数f(x)＝x3－3x的单调区间． 【解析】　方法一：f(x)＝eq \f(1,2)x2－x＝eq \f(1,2)(x－1)2－eq \f(1,2)，对应的抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，可知函数f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)． 方法二：易知f′(x)＝x－1，令f′(x)＞0，解得x＞1．故函数f(x)的单调递增区间是(1，＋∞)． 题型4　含参数的函数的单调区间 　　　　已知f(x)＝(x2－ax)ln x－eq \f(3,2)x2＋2ax，求f(x)的单调递减区间． 解：易得f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝(2x－a)ln x＋x－a－3x＋2a＝(2x－a)ln x－(2x－a)＝(2x－a)(ln x－1)， 令f′(x)＝0得x＝eq \f(a,2)或x＝e． 当a≤0时，因为x＞0，所以2x－a＞0，令f′(x)＜0得x＜e，所以f(x)的单调递减区间为(0，e)． 当a＞0时，①若eq \f(a,2)＜e，即0＜a＜2e，当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(a,2)))时，f′(x)＞0，当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，e))时，f′(x)＜0，当x∈(e，＋∞)时，f′(x)＞0，所以f(x)的单调递减区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，e))； ②若eq \f(a,2)＝e，即a＝2e，当x∈(0，＋∞)时，f′(x)≥0恒成立，f(x)没有单调递减区间； ③若eq \f(a,2)＞e，即a＞2e，当x∈(0，e)时，f′(x)＞0，当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(e，\f(a,2)))时，f′(x)＜0，当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，＋∞))时，f′(x)＞0，所以f(x)的单调递减区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(e，\f(a,2)))． 综上所述，当a≤0时，f(x)的单调递减区间为(0，e)； 当0＜a＜2e时，f(x)的单调递减区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，e))； 当a＝2e时，f(x)无单调递减区间； 当a＞2e时，f(x)的单调递减区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(e，\f(a,2)))． $$