5.3.2 函数的最值-2023-2024学年高二数学教材配套教学精品课件（人教A版2019选择性必修第二册)

人教A版 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 5.3 导数在研究函数中的应用 5.3.2 函数的最值 教学目标 1.借助函数图象，直观地理解函数的最大值和最小值的概念． 2.弄清函数最大值、最小值与极大值、极小值的区别与联系． 3.会用导数求在给定区间上函数的最大值、最小值． 01 复习导入 复习导入 思考：如何用导数的方法判断函数的极值？ 解方程，当 时： （1）如果在附近的左侧 ，右侧，那么是极大值 （2）如果在附近的左侧 ，右侧 ，那么是极小值. 情景导入 我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质. 也就是说，如果x0是函数y=f(x)的极大(小)值点，那么在x= x0附近找不到比f(x0)更大(小)的值. 但是，在解决实际问题或研究函数的性质时，我们往往更关心函数在某个区间上，哪个值最大，哪个值最小. 如果x0是某个区间上函数y=f(x)的最大(小)值点，那么f(x0)不小(大)于函数y=f(x)在此区间上的所有函数值. 函数在什么条件下一定有最大、最小值？它们与函数极值关系如何？ 02 函数的最值 新知探究 思考1：下图是函数y=f(x), x∈[a, b]的图象，你能找出它的极小(大)值吗? 观察图象，我们发现，，，是函数的极小值，，，是函数的极大值. 从上图中可以看出，函数在区间上的最小值是，最大值是. l 追问1：进一步地，你能找出函数在区间上的最小值、最大值吗？ 新知探究 思考2：观察[a,b]上的函数y=f(x)和y=g(x)的图象，它们在[a,b]上有最大值、最小值吗？如果有，最大值和最小值分别是什么？ 最大值：f(b); 最小值：f(a) 最大值：f(x3); 最小值：f(x4) 新知探究 思考3 ：函数f(x)在区间(a，b)上的最值情况有哪些？ 在开区间(a，b)上函数f(x)的图象是一条连续的曲线时，f(x)在(a，b)内不一定有最值.常见的有以下几种情况：①图1中的函数y＝f(x)在(a，b)上有最大值而无最小值；②图2中的函数y＝f(x)在(a，b)上有最小值而无最大值；③图3中的函数y＝f(x)在(a，b)上既无最大值也无最小值；④图4中的函数y＝f(x)在(a，b)上既有最大值又有最小值. 在开区间内的连续函数不一定有最大值与最小值. 新知探究 一般地，如果在闭区间[a, b]上函数y=f(x)的图象是一条连续曲线,它必有最大值和最小值.函数的最值必在________处或__________处取得. x y O a b x1 x2 x3 x4 x5 x6 端点 极值点 新知探究 对函数最值的三点说明(1)闭区间上的连续函数一定有最值，开区间内的连续函数不一定有最值．若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值；(2)函数的最大值和最小值是一个整体性概念；(3)函数y＝f(x)在[a，b]上连续，是函数y＝f(x)在[a，b]上有最大值或最小值的充分不必要条件． 新知探究 思考4： 函数最值与极值有什么关系 1.函数的最大值、最小值是比较整个定义域上的函数值得出的，函数的极大值、极小值是比较极值点附近的函数值得出的. 2.函数的极值可以有多个，但函数在其定义域上的最大值、最小值最多各有一个. 3.极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得；有最值未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处取得必定是极值. 新知探究 思考5： 如何结合函数的极值来求函数的最大（小）值呢 ① 求函数f(x)在(a, b)内的极值； ② 求函数f(x)在区间端点处的函数值f(a), f(b)； ③ 将函数f(x)在各极值与f(a), f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 03 最值的简单应用 新知探究 判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）一般地，连续函数 在 上既有最大值，又有最小值．( ) √ （2）函数的极值可以有多个，但最大（小）值最多只能有一个．( ) √ （3）最大（小）值一定是函数的极大（小）值．( ) × （4）极大（小）值一定是函数的最大（小）值．( ) × 概念辨析 (5)开区间上的单调连续函数无最值.( ) √ (6)函数在区间上的最大值和最小值一定在两个端点处取得.( ) × 新知探究 例1.求函数在区间上的最大值与最小值. 题型一：求不含参数的函数的最值 解： ，当 时， 或 ； 当 时， . 所以在 上，当 时， 取得极小值，极小值为 . 又 ， ， 所以函数 在 上的最大值为4，