第二十六章 数学活动-【名校培优课堂】2023-2024学年九年级下册数学同步导学案（人教版）

数学活动 ——利用双曲线探索数量关系 一、导学 1.活动导入 问题1：矩形的面积一定时，矩形的长和宽成什么关系？ 问题2：如果把矩形的一个顶点固定，拖动这个固定顶点的对角顶点，拖动时必须保证矩形的面积不变，猜猜看，这个对角顶点的运动轨迹会是什么图象呢？ 2.活动目标 （1）通过活动感受面积为定值的矩形的长与宽与反比例函数的关系. （2）通过活动建立反比例函数模型，解释杠杆平衡原理. 3.活动重、难点 重点：两个活动. 难点：第二个活动. 二、活动过程 活动1探索矩形顶点的运动轨迹 1.活动指导 （1）活动内容：教材P19活动1：探索矩形顶点的运动轨迹. （2）活动时间：10分钟. （3）活动方法：完成活动参考提纲. （4）活动参考提纲： ①下表是10个面积相等的矩形的长与宽，请补齐表格. ②设∠A为这10个矩形的公共角，在下面的坐标系中画出这10个矩形(假设每个小正方形的边长都是1 cm，矩形的长对应横坐标，宽对应纵坐标)，然后取∠A的10个对角的顶点，并把这10个点用平滑的曲线连接起来. 这条曲线是反比例函数图象的一支吗？为什么？(是，它是双曲线的一支.) ③如图，过y=的图象上任意一点P作两坐标轴的垂线段,则图中矩形的面积S是定值吗？是多少？（是，） 第③题图 第④题图 ④如图，过y=的图象上任意一点P作某一坐标轴的垂线段，则图中三角形的面积为. 2.自学：学生参考活动指导进行活动性学习. 3.助学 （1）师助生： ①明了学情：了解学生是否会画图. ②差异指导：把全班学生分成4个组，依次以图中网格的四个角处的格点为∠A的顶点，分别画图. （2）生助生：小组内互相交流. 4.强化 （1）把面积为定值的矩形的一个顶点固定，拖动这个固定顶点的对角顶点，这个对角顶点的运动轨迹是反比例函数图象的一支. （2）反比例函数的k的几何意义. 活动2探索力与力到支点距离的关系 1.活动指导 （1）活动内容：教材P19活动2：探索力与力到支点距离的关系. （2）活动时间：10分钟. （3）活动方法：完成活动参考提纲. （4）活动参考提纲： ①如图，取一根长100 cm的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来.在中点O的左侧距离中点O 25 cm处挂一个重9.8 N的物体，在中点O右侧用一个弹簧测力计向下拉，使木杆处于水平状态.改变弹簧测力计与中点O的距离L（单位：cm），看弹簧测力计的示数F（单位：N）有什么变化，并填写下表： ②以L的数值为横坐标，以F的数值为纵坐标建立直角坐标系，在坐标系内描出以上表中的数对为坐标的各点，用平滑曲线连接这些点； ③这条曲线是反比例函数图象的一支吗？为什么？点（50，4.9）在这条曲线上吗？ 是，因为它是双曲线的一支，点（50,4.9）在这条曲线上. 2.自学：学生参考活动指导进行活动性学习. 3.助学 （1）师助生： ①明了学情：看学生是否能顺利完成实验，关注学生处理实验误差的能力. ②差异指导：学生4人一组分组实验收集数据，然后各自完成后续活动任务. （2）生助生：小组内互相交流. 4.强化：弹簧秤的示数F与它到点O的距离L成反比. 三、评价 1.学生学习的自我评价：这节课你有什么收获？有哪些不足？ 2.教师对学生的评价： （1）表现性评价：从学生回答问题，动手操作能力等方面进行评价. （2）纸笔评价：课堂评价检测. 3.教师的自我评价（教学反思）. 本节课通过数学活动，利用双曲线来探索数量关系.在探索矩形顶点的运动轨迹这一活动中，我们通过描点、作图、算面积来感受面积为定值的矩形的长与宽与反比例函数的关系.在探索力与力到支点距离的关系活动中，我们通过建立反比例函数模型来解释杠杆平衡原理. 整个活动过程应充分发挥学生的主动性，对活动过程中存在问题的学生及时给予帮助，增强与学生的互动与交流. 一、基础巩固（60分） 1.(10分)如图是反比例函数y=在第二象限内的图象，若图中的矩形OABC的面积为2，则k=-2. 第1题图 第2题图 2.（10分）如图，若点A在反比例函数y=(k≠0)的图象上，AM⊥x轴于点M，△AMO的面积为3，则k=-6. 3.（20分）如图：李老师家有个边长为4米的正方形院子AOBC，他想在院子里修建一个矩形水池DOEF，水池一面DO靠墙AO，另一面OE靠墙OB，设OD=x（米），OE=y（米）. （1）若矩形水池的面积为2平方米，则y与x的函数关系式为：，在图中画出能建水池的F点的位置,并用l1标记； （2）若周长为6米（包含两边靠墙的地方），则y与x的关系式为y=-x+3，在图中画出满足条件的水