第二十七章 相似 章末复习-【名校培优课堂】2023-2024学年九年级下册数学同步教案（人教版）

章末复习 1.理解并掌握本章知识，能用相关知识解决具体问题. 2.通过梳理本章知识结构，回顾运用相似方法来解决一些实际问题的过程，加深运用所学知识解决一些实际问题的能力. 3.在运用相似解决实际问题的过程中，可增强学生的数学应用意识，感受数学应用价值；通过运用相似来证明具体问题的过程中，进一步增强学生的推理论证能力. 【教学重点】 运用相似知识来解决具体问题. 【教学难点】 灵活运用相似知识解决实际问题. 一、知识框图，整体把握 【教学说明】 通过展示本章知识结构框图，可以系统地了解本章知识及它们之间的关系.教学时，教师可边回顾边建立结构框图. 二、释疑解惑，加深理解 问题 在描述两个三角形相似时，有时用符号表示，如△ABC∽△DEF，有时用文字描述，如△ABC与△DEF相似，它们有区别吗？ 如果有区别，请指出来. 【教学说明】这个问题很多同学可能认为是一回事，因而教师应解释清楚：用“∽”符号表示相似时，他们的对应关系已经明确（因为用 “∽”符号描述时，对应顶点必须写在对应位置上），而用文字语言描述时，却没有明确对应关系，可能出现△ABC∽△DEF，△ABC∽△FED，△ABC∽△EDF三种情形，这样在解决具体问题时，就会出现多解情形. 试一试 1.如图，在△ABC与△ACD中， ∠ABC=∠ACD=90°，且 AB =4，AC=5，若图中的两个三角形相似，则DC的长为_____. . 2.在△ABC中，点D、E分别为AB、AC边 上的点.且 AB =8，AC=6，AD=4，若 △ABC 与△ADE相似，试求线段AE的长. 【教学说明】 可让学生自主完成，相互交流，最后师生共同评析，加深对符号语言和文字描述的区别的理解. 答案 1.∵∠ABC= ∠ACD=90。，故图中两个三角形相似只能有△ABC∽△ACD和 △ABC∽△DCA两种可能.在Rt△ACB中，由勾股定理可知，BC===3 ，当 △ABC∽△ACD 时，有 =，∴CD==；当△ABC∽△DCA时，有=，∴CD==，故应填“”. 2 .显然 ∠A =∠A，故 △ABC 与 △ADE 相似有两种可能，即△ABC∽△ADE和△ABC∽△AED.当 △ABC∽△ADE 时，有=，∴AE== =3；当△ABC∽△AED时，有=，∴AE===，所以AE的长为3或. 三、典例精析，复习新知 例1 在△ABC中，点D是BC边上一点，且BD : CD=1: 2，连AD，点F是AD的中点，连BF交AC于E，若AC=10 ，试求AE的长度； 解 由于图中没有相似三角形，没有平行线，似乎无法进行，但题目出现的BD: CD=1: 2这一条件启示我们可过点D作平行线，利用平行线分线段成比例定理可能会找到出路.过D作DH //AC交BE于H(如图所示），∵=，∴ =，又DH //AC，∴ ==. ∴ DH=EC.又F为AD的中点，∴==1，∴ DH=AE, ∴ AE=EC.又AC=10，∴AE=. (本题还可求D作DM //BE交AC于M，留给学生完成.） 例2 在△ABC中,点D、E分别是BC、AC边上的点，且=， =若AD、BE 相交于点F，求的值. 解 过E作EM//BC交AD于M(如图所示). ∴ ==，∴AM=MD. ∴ ==，∴ EM=CD. ∵EM//BD , ∴==，而=，∴=.不妨设MF=3，则DF=8，∴ MD=11，∴ AM=，∴AF=AM+MF=. ∴ ===. 例3 如图所示，在 ABCD中，E是BC上一点，AE交BD于F.已知BE:EC=3:1，S△BEF =12cm²，求 S△ADF. 例4 如图，AB为⊙O的直径，D为弦BC的中点，连结OD并延长交过C点的切线于点 P，连接AC.求证: △CPD∽△ABC. 【教学说明】 本例难度不大，可让学生自主探究，教师巡视，对有困难的学生予以指导. 例5 如图，△ABC的三个顶点坐标分别为 A( -2，4)，B( -3，1)，C( -1，1)，以坐标原点O为位似中心，相似比为2，在第二象限内将 △ABC放大，放大后得到△A1B1C1. (1)画出放大后的△A1 B1C1，并写出A1， B1，C1的坐标（点A，B，C的对应点为A1， B1，C1)； (2)求△A1B1C1的面积. 【教学说明】 本题仍可由学生独立完成， 然后相互交流.对于第（2)题，即可让学生直接依据△A1 B1C1中三个点坐标求出它的面积，也 可引导学生利用相似图形性质，先求出S△ABC=×2×3=3后，得到S△A1B1C1= 2²×3 = 12. 例6 如图1，直线y = - x + 3与x轴、y 轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的拋物线 y=x²+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P. (1)求该拋物线的解析