精品解析：上海市徐汇区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（一模）

2023学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷初三数学试卷 （时间100分钟 满分150分） 考生注意： 1．本试卷含三个大题，共25题；答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效； 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）．【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】 1. 下列抛物线中，对称轴为直线的抛物线的表达式是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在平面直角坐标系中，点，与轴正半轴的夹角为，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 下列两个三角形一定相似的是（ ） A 两个直角三角形 B. 两个等腰三角形 C. 两个等边三角形 D. 两个面积相等三角形 4. 如图，已知平行四边形的对角线和交于点O，设， ，那么向量、、、关于、的分解式中，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 进博会期间，从一架离地米的无人机上，测得地面监测点的俯角是，那么此时无人机与地面监测点的距离是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 6. 如图，点D是内一点，点E在线段的延长线上，与交于点O，分别连接、、，如果，那么下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 计算：______． 8. 已知点是线段的黄金分割点，如果，那么的长是______． 9. 已知，如果它们对应高的比，那么和的面积比是_______． 10. 在中，点、分别在边、上，如果，，，，那么的长是______． 11. 如图，，如果，，，那么的长是______． 12. 如图，在中，，于D，如果和的面积比为，，那么的长是_______． 13. 如图，一段东西向的限速公路长米，在此公路的南面有一监测点，从监测点观察，限速公路的端点在监测点的北偏西方向，端点在监测点的东北方向，那么监测点到限速公路的距离是______米（结果保留根号）． 14. 将抛物线向右平移后，所得新抛物线的顶点是B，新抛物线与原抛物线交于点A（如图所示），联接如果是等边三角形，那么点B的坐标是_______． 15. 如图，在中，和是的高，且交于点，已知，，，那么的正切值是______． 16. 中国古代数学书《御制数理精蕴》中有一道题大意如下：如图，从前有一座方城，四面城墙的中间都有城门，出南门后往前直走8里到宝塔A处(即里)，出西门往前直走2里到B处(即里)，此时，视线刚好能紧靠城墙角C看见宝塔A，如果设正方形的中心为O，点O、D、B在一直线上，点O、E、A在一直线上，那么这座方城每一面的城墙长是_______里． 17. 在中，，，如果将绕着点旋转，使得点落在边上，此时，点落在点处，连接，那么的长是______． 18. 如图，在中，，，如果点在的内部，且满足，那么的长是______． 三、（本大题共7题，第19-22题每题10分；第23、24题每题12分；第25题14分；满分78分） 19. 已知：． （1）求代数式的值； （2）当时，求a、b的值． 20. 已知抛物线与y轴交于点C，与x轴交于点和点B，顶点为D． （1）求此抛物线的表达式及顶点D坐标； （2）连接、，求的余弦值． 21. 如图，在梯形中，，平分，，． （1）求的长； （2）设，，求向量（用向量、表示）． 22. 小杰在学习了“仰角、俯角、坡比”后，他在自己居住小区设计了如下测量方案：小杰利用小区中的一个斜坡，首先在斜坡的底端测得高楼顶端的仰角是，然后沿斜坡向上走到处，再测得高楼顶端的仰角是，已知斜坡的坡比是，斜坡的底端到高楼底端的距离是米，且、、三点在一直线上如图所示．假设测角仪器的高度忽略不计，请根据小杰的方案，完成下列问题： （1）求高楼的高度； （2）求点离地面的距离结果精确到米．(参考数据：，，，) 23. 如图，在中，点在边上，． （1）求证：； （2）当点是边的中点时，分别延长、交于点，求证：． 24. 如图，在平面直角坐标系中，第二象限的点在抛物线上，点到两坐标轴的距离都是． （1）求该抛物线表达式； （2）将抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位后，所得新抛物线与轴交于点和点，已知，且，与轴负半轴交于点． ①求值； ②设直线与上述新抛物线的对称轴的交点为，点是直线上位于点下方的一点，分别连接、，如果，求点的坐标． 25. 如图，在中，，，点是边上的动点（点不与点重合），以为斜边在直线上方作等腰直角三角形． （1）当点是边的中点时，求的值； （2），点在边上运动的过程中，的大小是