专题03任意角及其度量 （2大考点3种题型）-【寒假自学课】2024年高一数学寒假提升学与练（沪教版2020）

学科网（北京）股份有限公司 专题03任意角及其度量 （2大考点3种题型） 思维导图 核心考点聚焦 考点一、任意角 考点二、角的度量 题型一．任意角的三角函数的定义 题型二．三角函数值的符号 题型三：角的度量 考点一、任意角 1. 正角、负角、零角： 正角：一条射线绕端点按逆时针方向旋转所形成的角为正角，其度量值是正的； 负角：一条射线绕端点按顺时针方向旋转所形成的角为负角，其度量值是负的. 零角：当一条射线没有旋转时，称为零角. 零角的始边与终边重合. 【小结】这样，我们可将角的概念推广到任意角，包括正角、负角与零角，也包括超过的角. 2. 象限角和轴线角： （1）为了便于研究角及与其相关的问题，可将角置于平面直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与轴的正半轴重合，此时角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角，或者说这个角属于第几象限. 如图，和都是第一象限角，和都是第二象限的角. （2）当角的终边在坐标轴上时，就说这些角不属于任一象限，这种角称为轴线角. 3. 终边相同的角： 我们把所有所有与角终边重合的角（包括角本身）的集合表示为 . 【小结】①终边在轴正半轴上的角的集合为； ②终边在轴负半轴上的角的集合为； ③终边在轴上的角的集合为； ④终边在轴上的角的集合为； ⑤终边在坐标轴上的角的集合为； ⑥第二象限角的集合为. 【注意】后缀表示射线，表示直线. 考点二、角的度量 1. 角度制 在平面几何中，我们把周角的作为1度，用“度”作为单位来度量角的单位制叫做角度制. 2. 弧度制 （1）把弧长等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad. 用“弧度”作为单位来度量角的单位制叫做弧度制. 一般地说，如果一个半径为的圆的圆心角所对的弧长为，那么就是角的绝对值，即 ， 这里的符号由它的始边旋转至终边的方向决定【逆正顺负】. 【注意】对于角，以顶点为圆心，分别以为半径画弧和，它们的长分别为和，则，因此一个角的弧度数仅与角的大小有关，而与所取弧的半径无关. 【心得】这种定义法我们称之为比值定义法，跟初中物理中类似. （2）在弧度制下，每个角都是一个确定的实数，而每个实数也可以表示一个确定的角，因此在角的集合与实数集合之间建立起一种一一对应的关系. 【注意】在用弧度制表示角时，通常省略“弧度”两字，只写这个角所对应的弧度数. 例如，角和角的互补关系可以表示为，而则表示弧度的角的正弦. （3）角度与弧度的换算：弧度 弧度，弧度 （4）应熟记一些常用特殊角的角度和弧度的对应关系 角度 弧度 （5）象限角的表示： 第一象限的角的集合： 第二象限的角的集合： 第三象限的角的集合： 第四象限的角的集合： 【注意】角度和弧度不可混用，如“”和“”的写法都是不妥当的. （6）弧长公式和扇形面积公式 引入弧度制使得扇形的弧长和面积公式变得简洁漂亮. 当扇形的圆心角为，半径为时，扇形的弧长和面积的公式分别为及. 在使用弧度制后，圆心角相应的弧度为，因此上述公式可分别简化为 扇形的弧长， 扇形的面积. 题型一．任意角的三角函数的定义 【例1】．（2023春•浦东新区校级月考）下列命题中，正确的是　　 A．第二象限角大于第一象限角 B．若，是角终边上一点，则 C．若，则、的终边相同 D．的解集为 【例2】．（2023春•浦东新区校级期中）“，”是“”的　　条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【例3】．（2023春•青浦区校级月考）若角的终边上有一点，则实数的值为 　　． 【例4】．（2023•上海模拟）已知为角终边上一点，则　　． 【例5】．（2023春•宝山区校级月考）已知终边过点，若，则　　． 【例6】．（2023春•徐汇区校级期中）角是第四象限角，其终边与单位圆的交点为，把角顺时针旋转得角，则角终边与单位圆的交点的坐标为 　　 ． 题型二．三角函数值的符号 【例1】．（2023春•浦东新区期中）已知点在第四象限，则角的终边在　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【例2】．（2023春•宝山区校级月考）设是第三象限角，则下列函数值一定为负数的是　　 A． B． C． D． 【例3】．（2023春•青浦区校级期中）点是第______象限角终边上的点　　 A．一 B．二 C．三 D．四 【例4】．（2023春•长宁区校级期中）若，，则是第　　象限角． A．一 B．二 C．三 D．四 【例5】．（2023春•青浦区校级期中）为第三象限角，且，