专题03 线段的垂直平分线（4个知识点+方法练+创新练+成果练）2024年八年级数学寒假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（北师大版）

专题03 线段的垂直平分线（4个知识点+方法练+创新练+成果练） 【目录】 【新知讲解】 知识点1.线段垂直平分线的性质定理 知识点2.线段垂直平分线的判定定理 知识点3.三角形三边的垂直平分线的性质 知识点4.已知底边和底边上的高作等腰三角形 【方法练】 【创新练】 【成果练】 【知识导图】 【新知讲解】 知识点1.线段垂直平分线的性质定理 定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 【例1】（2023·江苏南京·八年级南京钟英中学校考期中）如图，在中，是的垂直平分线，的周长为，则的周长是 ． 【变式】（2023·河南商丘·八年级统考期中）如图，在中，是的垂直平分线．若，则的周长是 ． 知识点2.线段垂直平分线的判定定理 定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 【例2】（2023·吉林长春·八年级统考期末）概念理解：对角线互相垂直的四边形叫做垂直四边形．如图1，四边形中，； 新意应用：如图2，在四边形中，，，问四边形是垂直四边形吗？请说明理由； 性质探究：如图1，垂直四边形被对角线分成了四个直角三角形，与有什么关系？并证明你的猜想． 【变式】（2023·河北沧州·八年级校考阶段练习）如图，平面上的四边形是一个“风筝”的骨架，其中． (1)九年级王云同学观察了这个“风筝”的骨架后，他认为四边形的两条对角线，垂足为，并且，你同意王云同学的判断吗？请说明理由． (2)设对角线，请用含的式子表示四边形的面积． 知识点3.三角形三边的垂直平分线的性质 定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等 【例3】（2021下·河南郑州·八年级河南省实验中学校考开学考试）三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等． 知识点4.已知底边和底边上的高作等腰三角形 步骤1.作一条线段等于已知线段；2.做线段的垂直平分线；3.在垂直平分线上截取线段长度等于高；4.连线。 【例4】（2021·八年级课时练习）已知线段a，h，用直尺和圆规作等腰三角形，底边边上的高为h（要求尺规作图，不写作法和证明）． 【方法练】 1．（2023·江西上饶·八年级统考期中）在学习完课本53页数学活动2：用全等三角形研究“筝形”后，小明同学得知：如图，四边形中，，，像这样两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，课后小明认真思考得出了下列结论：①对角线平分一组对角和；②对角线平分一组对角和；③垂直平分；④垂直平分；⑤四边形的面积；⑥任意一个对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半． (1)你认为正确的结论有________；（只需填序号） (2)请你任选一个你认为正确的结论进行证明． 2．（2023·江西上饶·八年级统考期中）如图，在中，利用尺规作图作出的中线．不写作法，但要保留作图痕迹．    3．（2023·重庆·八年级校考期中）如图，在中，的角平分线交于点D． (1)用尺规完成以下基本作图：作的垂直平分线分别与、、交于点E、点F、点H．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）所作的图形中，连接、，完成下面证明的过程． 证明：∵的角平分线交于点D， ∴______． ∵垂直平分， ∴，______，______， ∴， ∴， ∴______． ∴． 【创新练】 1．（2023·江苏泰州·统考中考真题）如图，是五边形的一边，若垂直平分，垂足为M，且____________，____________，则____________． 给出下列信息：①平分；②；③．请从中选择适当信息，将对应的序号填到横线上方，使之构成真命题，补全图形，并加以证明．    2．（2022·广西贵港·中考真题）尺规作图（保留作图痕迹，不要求写出作法）： 如图，已知线段m，n．求作，使． 3．（2022·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，已知中，，，． (1)作的垂直平分线，分别交、于点、；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，求的周长． 【成果练】 一、单选题 1．（2023下·全国·八年级假期作业）三角形三边的垂直平分线的交点（    ） A．到三角形三边的距离相等 B．到三角形三个顶点的距离相等 C．到三角形三个顶点与三条边的距离都相等 D．不能确定 2．（2023下·全国·八年级假期作业）如图，在中，，边的垂直平分线交于点，交于点，连接．若，则的长为（    ） A．6 B．9 C． D． 3．（2023下·全国·八年级假期作业）如图，是的角平分线，是的垂直平分线，的周长为12，则的周长为（    ） A．16 B． C．20 D． 4．（2023·河南南阳·八年级统考阶段练习）如图，小明在学了尺规作图后，作了一个图形，其作图步骤是：①作线段