第06讲 角平分线（4大知识点+11大考点）-【寒假自学课】2025年八年级数学寒假提升精品讲义（北师大版）

第06讲 角平分线 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．了解角平分线的性质； 2．掌握角平分线的判定； 3. 知道三角形三条角平分线的交点的性质； 4. 掌握角平分线有关的尺规作图. 知识点1 角平分线的性质 定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 已知：如图1-22,OC是 ∠AOB的平分线，点P 在OC上 ，PD⊥OA,PE⊥OB, 垂足分别为D,E. 求证：PD=PE. 证明：∵ PD⊥OA,PE⊥OB, 垂足分别为D,E, ∴∠PDO=∠PEO=90°. ∵∠1=∠2,OP=OP, ∴ △PDO≌△PEO(AAS). ∴PD=PE (全等三角形的对应边相等). 知识点2 角平分线的判定 思考：你能写出这个定理的逆命题吗?它是真命题吗? 定理 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 . 已知：如图1- 23,点P为∠AOB内一点，PD⊥OA, PE⊥OB,垂足分别为D,E, 且PD=PE. 求证：OP平分∠AOB. 证明：∵ PD⊥OA,PE⊥OB, 垂足分别为D,E, ∴∠ODP=∠OEP=90°. ∵ PD=PE,OP=OP, ∴Rt△DOP≌Rt△EOP(HL). ∴ ∠1=∠2(全等三角形的对应角相等) . ∴OP平分∠AOB. 知识点3 三角形三条角平分线的交点 例1 求证：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等. 已知：如图1- 25,在△ABC中，角平分线BM 与角平分线CN相交于点P,过点P分别作AB,BC,AC的垂线，垂足分别为D,E,F. 求证：∠A的平分线经过点P, 且PD=PE=PF. 证明：∵ BM 是△ABC的角平分线，点P在BM上，且PD⊥AB,PE⊥BC,垂足分别为D,E, ∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等) . 同理，PE=PF. ∴PD=PE=PF. ∴点P在∠A 的平分线上(在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上), 即∠ A的平分线经过点P. 知识点4 尺规作图 角平分线的尺规作图： （1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E. 　　 （2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C. 　　 （3）画射线OC. 射线OC即为所求. 考点一:角平分线的性质 例1．如图，已知点在的平分线上，于点，于点，若，则长（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式1-1】．如图，在中，，D是上一点，且，若，则点D到的距离是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式1-2】．如图，射线是的平分线，，，若点Q是射线上一动点，则线段的长度不可能是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1-3】．如图，在中，，平分，交于点，且，若，则 ． 考点二:根据角平分线的性质解答证明 例2．如图，已知点O在的平分线上，，，垂足分别为D，E．求证：． 【变式2-1】．如图，在，，平分，于点E，点F在上，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式2-2】．如图，已知P是平分线上一点，，交于点C，，垂足为D，且， (1)求的度数； (2)求的长． 【变式2-3】．如图，在中，，是边上的点，于，于． (1)若，求证：； (2)若，，求的长． 考点三:三角形三条角平分线的交点 例3．到三角形各边距离相等的点是三角形的（    ） A．三条边垂直平分线的交点 B．三条中线的交点 C．三个内角平分线的交点 D．三条高的交点 【变式3-1】．如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（     ）．   A．在 AC、BC 两边高线的交点处 B．在 AC、BC 两边垂直平分线的交点处 C．在 AC、BC 两边中线的交点处 D．在∠A、∠B两内角平分线的交点处 【变式3-2】．如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在三条 的交点处． 【变式3-3】．如图，两两相交的三条公路中央有一深水湖泊，要在陆地建一个加油站P到三条公路距离相等，这样的位置有 处．    考点四：与角平分线有关的面积问题 例4．如图，平分，于点E，，，则的面积等于（ ） A．28 B．21 C．14 D．7 【变式4-1】．如图，在中，是边上的高，平分，交于点，，，则的面积为 ． 【变式4-2】．如图，是中的角平分线，于点，，，，则长是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式4-3】．如图，点是的三个内角平分线的交点，若的周长为，面积为，则点P到边的距离是（ ） A． B． C． D． 考点五：与角平分线有关的面积问题（提高） 例5．如图，在中，平分，于点，连接，若，，则的面积是 ． 【变式5-1】．如图，在中，和的角平分线交于点O，，，的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】．如图，的三边、、的长分别为、和，三条角平分线的交点为O，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】．如图，在中，分别是，的平分线，相交于点F，且，的周长为21，关于甲、乙、丙三人的结论，下列判断正确的是（   ） 甲：；乙；点F到的距离为2；丙：连接，则平分 A．只有甲对 B．甲、乙、丙都对 C．乙错，丙对 D．甲错，乙对 考点六：角平分线的判定 例6．如图，已知，P为内部一点，过点P作于点A，于点B，，C为上一点，于点D，且，则点C到的距离是 ． 【变式6-1】．如图，是内一点，且点到三边，，的距离，，相等，若，则 ． 【变式6-2】．如图，在中，，点D在的延长线上，的平分线与的平分线相交于点E，连接，则 ． 【变式6-3】．如图，，点是的中点，平分，若，连接，则 ．    考点七：尺规作图（选填题） 例7．如图，用直尺和圆规作的角平分线，根据作图痕迹，下列结论不一定正确的是（    ）． A． B． C． D． 【变式7-1】．如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积是（    ） A．2 B． C．3 D． 【变式7-2】．如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．若，，则的长为 ． 【变式7-3】． 如图，在中，，，以点A为圆心，适当长度为半径画弧分别交、于点M和N，再分别以点M，N为圆心画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，则下列说法：①是的平分线；②；③；④点D到直线的距离等于的长度．其中正确的有 ． 考点八：角平分线与线段的垂直平分线综合 例8．如图，在中，，是的垂直平分线，恰好平分．若，则的长是（    ）    A．9 B．6 C．7 D．5 【变式8-1】．如图，在中，，的平分线交于D，是线段的垂直平分线，垂足为E．若，则的长为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式8-2】．如图，的平分线与的垂直平分线相交于点D，，，垂足分别为E、F，，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式8-3】．如图，的平分线与的垂直平分线相交于点，，，垂足分别为E、F，，，则的值为（    ） A．1 B．2 C．2.5 D．3 考点九：尺规作图（解答题） 例9．如图，在中． (1)尺规作图：作的平分线，交于点D；（保留作图痕迹，不写作法） (2)尺规作图：在（1）问所得的角平分线上取一点，使得； (3)求点D到的距离． 【变式9-1】．如图，在中，，，，为的一个外角． (1)请按以下要求画出图形，并在图中标明相应字母． ①尺规作图：作的平分线（保留作图痕迹，不写作法）； ②取线段的中点N，过N画的垂线，与交于点F，与交于点E． (2)求证：． 【变式9-2】．如图，已知：在中，，． (1)作的平分线，交于点，作的垂直平分线，分别交、于点、．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）； (2)求证：点是中点； (3)连接，求的度数． 【变式9-3】．数学实验能增加学习数学的兴趣，也是提高动手能力和发展创新意识的手段之一．八年级1班同学在运用数学实验研究角平分线时提出了如下问题，请你解答． (1)“行知”小组开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，作图痕迹如下图： 其中射线为的平分线的共有______ A．1个        B．2个        C．3个        D．4个 (2)如图1，“善思”小组尝试制作可以用来平分角的仪器，其中，将仪器上的点A与的顶点R重合，调整和，使它们落在角的两边上，沿画一条射线，则就是的平分线．请说明理由． (3)如图2，“智慧”小组尝试制作可以用来三等分角的仪器，仪器是一个直角角尺，图中的点A，B，C在一条直线上，且． 小组同学给出仪器三等分的步骤： 第一步，将仪器如图3放置，使落到的边所在的直线上，画出此时所在直线； 第二步，将仪器如图4放置，使所在直线过的顶点O，且点A，C分别落在直线，射线上； 第三步，在图4中分别作射线，射线，得到图5． 下面是小组同学展示的部分推理过程： 如图5，过点A作，垂足为D，连接．由仪器特征和操作过程可知，且．∴（▲）． …… ①“▲”处的推理依据是 ； ②补全推理过程． 考点十：最值问题 例10．如图，中， ， ，平分，则的最大值为 ． 【变式10-1】．如图，在中，，，，，平分交于点，点，分别是，上的动点，连接，，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】．如图，已知线段，点P为线段上一动点，以为边作等边，以为直角边，为直角，在同侧构造，点M为的中点，连接，则的最小值为 【变式10-3】．如图，在等腰中，，，，是底边上的高．在的延长线上有一个动点，连接，作，交的延长线于点，的角平分线交边于点，则在点运动的过程中，线段的最小值为 ． 考点十一：解答综合题 例11．如图，D、E分别是的中点，于D，于E． (1)求证：； (2)若交于点F，求证：点F在的角平分线上． 【变式11-1】．已知：如图，平分，于点E，于点D，． (1)求证：； (2)若，，求四边形的面积． 【变式11-2】．如图，在四边形中，，延长，交于点，所在的直线垂直平分线段，过点作交于点． (1)试说明：； (2)若，的面积为，求的长． 【变式11-3】．[定理]如图1，因为于B，于D，；所以___________． [运用]如图2，在四边形中，，求证：平分． [拓展]如图3，在等边中，，且；求的度数． 一、单选题 1．如图，在中，平分，交于点D，，垂足为点E，若，则的长为（   ） A．8 B．2 C．4 D．6 2．点在的角平分线上，点到边的距离等于，点是边上的任意一点，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，COM的面积为9，OM=6，则点C到射线OA的距离为（    ） A．9 B．6 C．3 D．4.5 4．如图，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E， =15，DE=3，AB=6，则AC长是(     ) A．4 B．5 C．6 D．7 6．在中，，AD平分交BC于点D，，则AC长为（    ）． A．4 B．5 C．6 D． 7．下列说法正确的有（    ） ①角平分线上任意一点到角两边的距离相等 ②到一个角两边的距离相等的点在这个角的平分线上 ③三角形三个角平分线的交点到三个顶点的距离相等 ④三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．如图，AD平分，于点E，于点F，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，，．、分别平分，，则的长为（    ）    A． B． C．4 D．2 10．如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，下列三个结论：①∠AOB=90°+∠C；②当∠C=60°时，AF+BE=AB；③若OD=a，AB+BC+CA=2b，则S△ABC=ab．其中正确的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 二、填空题 11．如图，在中，，平分，，则点D到的距离为 ． 12．如图，已知，且，则点C在 的平分线上，点A在 的平分线上． 13．如图，在中，，根据尺规作图的痕迹作射线交边于点G．若，，则的面积为 ． 14．如图，是中的角平分线，于点，于点，，，，则长是 ． 15．如图，已知在中，CD是AB边上的高线，BE平分，交CD于点E，，，则的面积等于 ． 16．如图，在中，，平分交于点． （1）若，，则点到的距离是 ； （2）若，点到的距离为6，则的长是 ． 17．如图，△ABC的外角∠MBC和∠NCB的平分线BP、CP相交于点P，PE⊥BC于E且PE＝3cm，若△ABC的周长为14cm，S△BPC＝7.5，则△ABC的面积为 cm2． 18．如图，在中，，，，点在上，过点作的垂线，分别交射线，线段于点，，连接，恰好平分，则线段的长是 ．    三、解答题 19．已知：如图，，垂足分别为D，E，与相交于点O，平分．求证：． 20．如图，某市有两个粮食市场C、D，附近有两条交叉的公路．现计划修建一座大型粮仓P，为了运输方便，希望该粮仓到两条公路的距离相等，且到两个粮食市场C、D的距离也相等，请在图中设计出该粮仓的位置．（尺规作图，不写作法，写清结论．） 21．如图，中，是的角平分线，，求证：． 22．如图，，，垂足分别为D、E，、交于点O，． (1)求证：； (2)求证：平分． 23．如图，在中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，，三角形的面积是16，求的长度． 24．如图所示，直线交轴于点，交轴于点，且、满足． (1)如图1，若的坐标为，且于点，交于点，试求点的坐标； (2)如图2，连接，求证； (3)如图3，若点为的中点，点为轴正半轴上一动点，连接，过作交轴于点，当点在轴正半轴上运动的过程中，式子的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值． 25．在等腰三角形中，为底边的中点，、分别为、上的点. (1)如图，于，于，求证：； (2)如图，，请判断和有什么数量关系？并说明理由； (3)如图，点与点重合，点为线段上的一点，且，，求的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 角平分线 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．了解角平分线的性质； 2．掌握角平分线的判定； 3. 知道三角形三条角平分线的交点的性质； 4. 掌握角平分线有关的尺规作图. 知识点1 角平分线的性质 定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 已知：如图1-22,OC是 ∠AOB的平分线，点P 在OC上 ，PD⊥OA,PE⊥OB, 垂足分别为D,E. 求证：PD=PE. 证明：∵ PD⊥OA,PE⊥OB, 垂足分别为D,E, ∴∠PDO=∠PEO=90°. ∵∠1=∠2,OP=OP, ∴ △PDO≌△PEO(AAS). ∴PD=PE (全等三角形的对应边相等). 知识点2 角平分线的判定 思考：你能写出这个定理的逆命题吗?它是真命题吗? 定理 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 . 已知：如图1- 23,点P为∠AOB内一点，PD⊥OA, PE⊥OB,垂足分别为D,E, 且PD=PE. 求证：OP平分∠AOB. 证明：∵ PD⊥OA,PE⊥OB, 垂足分别为D,E, ∴∠ODP=∠OEP=90°. ∵ PD=PE,OP=OP, ∴Rt△DOP≌Rt△EOP(HL). ∴ ∠1=∠2(全等三角形的对应角相等) . ∴OP平分∠AOB. 知识点3 三角形三条角平分线的交点 例1 求证：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等. 已知：如图1- 25,在△ABC中，角平分线BM 与角平分线CN相交于点P,过点P分别作AB,BC,AC的垂线，垂足分别为D,E,F. 求证：∠A的平分线经过点P, 且PD=PE=PF. 证明：∵ BM 是△ABC的角平分线，点P在BM上，且PD⊥AB,PE⊥BC,垂足分别为D,E, ∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等) . 同理，PE=PF. ∴PD=PE=PF. ∴点P在∠A 的平分线上(在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上), 即∠ A的平分线经过点P. 知识点4 尺规作图 角平分线的尺规作图： （1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E. 　　 （2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C. 　　 （3）画射线OC. 射线OC即为所求. 考点一:角平分线的性质 例1．如图，已知点在的平分线上，于点，于点，若，则长（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】此题考查了角平分线性质性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，利用角平分线性质定理即可得出． 【解析】解：平分，于点，于点， 故选：C． 【变式1-1】．如图，在中，，D是上一点，且，若，则点D到的距离是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键；过D作于E，根据角平分线的性质可得，即可得解． 【解析】解：过D作于E， ， ， ，， ， 点D到BC的距离是4， 故选：． 【变式1-2】．如图，射线是的平分线，，，若点Q是射线上一动点，则线段的长度不可能是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键． 过点D作于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再根据垂线段最短解答． 【解析】解：如图，过点D作于E， 是的角平分线，， ， 由垂线段最短可得， ， ． 故选：A． 【变式1-3】．如图，在中，，平分，交于点，且，若，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，熟记性质是解题的关键．过点作于，根据三角形内角和定理可得，然后根据直角三角形的性质即可得到结论． 【解析】解：如图，过点作于， 平分， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：9． 考点二:根据角平分线的性质解答证明 例2．如图，已知点O在的平分线上，，，垂足分别为D，E．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由点O在的平分线上，，，得，．再运用证明，即可作答． 【解析】证明：点O在的平分线上，，， ，． 在和中， ， ， ． 【变式2-1】．如图，在，，平分，于点E，点F在上，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】（1）证明即可； （2）证明，结合，列式计算即可． 本题考查了直角三角形全等的判定和性质，角的平分线的性质，熟练掌握直角三角形的全等判定和性质是解题的关键． 【解析】（1）证明：∵，平分，， ∴ ∵，，， ∴， ∴． （2）解：∵，平分，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵． ∴， ∵，， ∴． 【变式2-2】．如图，已知P是平分线上一点，，交于点C，，垂足为D，且， (1)求的度数； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是含30度角的直角三角形的性质，角平分线的性质； （1）由角平分线可得，再利用平行线可得，从而可得答案； （2）过作于，利用含的直角三角形的性质可得，再利用角平分线的性质可得答案． 【解析】（1）解： 平分，， ， ， ． （2）解：过作于， ，，， ， ，，平分， ． 【变式2-3】．如图，在中，，是边上的点，于，于． (1)若，求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，角平分线的性质，含度角的直角三角形的性质 （1）连接．根据等腰三角形三线合一的特性，可知也是的角平分线，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，那么； （2）由可求得，根据角所对的直角边等于斜边的一半可求得、的长，即可求解． 【解析】（1）证明：连接． ，， ∴点是边上的中点， 平分， 、分别垂直、于点和． ； （2）解：，， ， 于，于． ， ， ． 考点三:三角形三条角平分线的交点 例3．到三角形各边距离相等的点是三角形的（    ） A．三条边垂直平分线的交点 B．三条中线的交点 C．三个内角平分线的交点 D．三条高的交点 【答案】C 【分析】本题主要考查角平分线的判定定理，根据到角两边距离相等的点在角平分线上，熟练掌握角平分线的判定定理是解题的关键． 【解析】解：根据“角平分线上的点到角两边的距离相等”可知：到三角形三条边距离相等的点是三个内角平分线的交点． 故选：C． 【变式3-1】．如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（     ）．   A．在 AC、BC 两边高线的交点处 B．在 AC、BC 两边垂直平分线的交点处 C．在 AC、BC 两边中线的交点处 D．在∠A、∠B两内角平分线的交点处 【答案】B 【分析】根据线段垂直平分线的性质即可得出答案． 【解析】根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等， 可知超市应建在AC、BC两边垂直平分线的交点处， 故选：B． 【点睛】本题考查线段垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，熟练掌握其性质是解题的关键． 【变式3-2】．如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在三条 的交点处． 【答案】角平分线 【分析】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 根据角平分线的性质解答即可． 【解析】解：∵角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴凉亭的位置应为三条角平分线的交点， 故答案为：角平分线． 【变式3-3】．如图，两两相交的三条公路中央有一深水湖泊，要在陆地建一个加油站P到三条公路距离相等，这样的位置有 处．    【答案】三 【分析】此题考查了三角形角平分线的性质，分别作外角的角平分线，交点分别为，即为所求的点，解题的关键是熟练掌握三角形角平分线的性质及其应用． 【解析】解：如图所示，，即为所求的点，    故答案为：三． 考点四：与角平分线有关的面积问题 例4．如图，平分，于点E，，，则的面积等于（ ） A．28 B．21 C．14 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的性质．掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等，三角形面积公式，是解题的关键． 作，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算即可． 【解析】解：作交的延长线于F， 平分，，， ， 的面积， 故选：C． 【变式4-1】．如图，在中，是边上的高，平分，交于点，，，则的面积为 ． 【答案】20 【分析】本题考查了角平分线的性质和三角形的面积，过作于，根据角平分线的性质得出，根据三角形的面积公式求出面积即可． 【解析】解：过作于， 是边上的高，平分，， ， ， ， ， 的面积为， 故答案为：20． 【变式4-2】．如图，是中的角平分线，于点，，，，则长是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了角的平分线性质，三角形面积公式的应用，过D作于F，根据角平分线性质求出，根据和三角形面积公式求出即可． 【解析】解：如图，过D作于F， ∵是中的角平分线，于点E，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：． 故选：A． 【变式4-3】．如图，点是的三个内角平分线的交点，若的周长为，面积为，则点P到边的距离是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．过点P作于D，于E，于F，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算，得到答案． 【解析】解：过点P作于D，于E，于F，如图， ∵点P是的内角平分线的交点， ∴， 又的周长为，面积为， ∴， ∴ ∴ ∴点P到边的距离是3cm 故选：A． 考点五：与角平分线有关的面积问题（提高） 例5．如图，在中，平分，于点，连接，若，，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，过点作于点，根据平分，，得到，根据面积公式求出三角形的面积，熟练掌握角平分线上的点到角的两边距离相等是解题的关键． 【解析】解：如图，过点作于点， ∵平分，， ∴， ∴的面积， 故答案为：． 【变式5-1】．如图，在中，和的角平分线交于点O，，，的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键．过点作于点，于点，根据角平分线的性质得出，根据三角形面积得出，代入数据即可求解． 【解析】解：过点作于点，于点，如图， ∵平分， ∴， ∴， ∵，，的面积为， ∴． 故选：A． 【变式5-2】．如图，的三边、、的长分别为、和，三条角平分线的交点为O，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查角平分线的性质，过O作于M，于N，于K，由角平分线的性质推出，由三角形面积公式得到的面积，的面积，的面积，于是得到． 【解析】解：过O作于M，于N，于K， ∵的三条角平分线的交点为O， ∴， ∴的面积，的面积，的面积， ∵、、的长分别为、和， ∴． 故选：A． 【变式5-3】．如图，在中，分别是，的平分线，相交于点F，且，的周长为21，关于甲、乙、丙三人的结论，下列判断正确的是（   ） 甲：；乙；点F到的距离为2；丙：连接，则平分 A．只有甲对 B．甲、乙、丙都对 C．乙错，丙对 D．甲错，乙对 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的性质和判定，连接，过点作，根据角平分线的性质，得到，进而得到平分，利用分割法求面积法，求出的的长，进行判断即可． 【解析】解：连接，过点作， ∵分别是，的平分线， ∴， ∴， ∴平分，故丙说法正确； ∵， ∵的周长为21， ∴， ∴， ∴点F到的距离为4，故乙说法错误； 条件不足，无法得到，故甲说法错误； 故选C． 考点六：角平分线的判定 例6．如图，已知，P为内部一点，过点P作于点A，于点B，，C为上一点，于点D，且，则点C到的距离是 ． 【答案】7 【分析】本题考查角平分线的判定和性质，先根据题意判定平分，然后根据角平分线上的点到角的两边距离相等解题即可． 【解析】解：∵P为内部一点，，，， ∴平分， ∵， ∴C到的距离， 故答案为：7． 【变式6-1】．如图，是内一点，且点到三边，，的距离，，相等，若，则 ． 【答案】/115度 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的性质．根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出点是三角形三条角平分线的交点，再根据三角形的内角和定理求出，然后求出，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解． 【解析】解：到三边、、的距离， 点是三角形三条角平分线的交点， ， ， ， 在中，． 故答案为：． 【变式6-2】．如图，在中，，点D在的延长线上，的平分线与的平分线相交于点E，连接，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质和判定，三角形外角的性质，掌握角平分线性质和判定是解题的关键．根据角平分线的性质即可求得点E到的距离相等，再利用角平分线的判定即可得到是的角平分线，进而得到的度数． 【解析】解：过点E分别作，，，垂足分别为H，F，G， ∵的平分线与的平分线相交于点E， ∴， ∴是的平分线， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式6-3】．如图，，点是的中点，平分，若，连接，则 ．    【答案】 【分析】作于，根据平行线的判定定理，得出，再根据平行线的性质，得出，再根据角平分线的性质，得出，再根据中点的定义，得出，再根据等量代换，得出，再根据角平分线的判定定理，得出是的角平分线，再根据角平分线的定义，计算即可得出答案． 【解析】解：如图，作于，    ∵， ∴， ∴， ∵平分，，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， 又∵，， ∴是的角平分线， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的判定和性质，熟练掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 考点七：尺规作图（选填题） 例7．如图，用直尺和圆规作的角平分线，根据作图痕迹，下列结论不一定正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的判定，由作图方法可知，则可证明得到，进一步可证明垂直平分，据此可得答案． 【解析】解：由作图方法可知， 又∵， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴，， 根据现有条件无法得到， 故选：C． 【变式7-1】．如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积是（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查了作图−作已知角的角平分线，要熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了角分线的性质． 作于，利用基本作图得到平分，则根据角平分线的性质定理得到，然后根据三角形面积公式计算． 【解析】解：作于H， 由题中作法得平分， ∵，， ∴， ∴， 故选：A． 【变式7-2】．如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了尺规作图—作角平分线，角平分线的性质定理，作于，由三角形面积公式求出，由作图可得：平分，再由角平分线的性质定理即可得解． 【解析】解：如图，作于， ∵，， ∴， 由作图可得：平分， ∵，， ∴， 故答案为：． 【变式7-3】． 如图，在中，，，以点A为圆心，适当长度为半径画弧分别交、于点M和N，再分别以点M，N为圆心画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，则下列说法：①是的平分线；②；③；④点D到直线的距离等于的长度．其中正确的有 ． 【答案】①②③④ 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质与判定、直角三角形的性质及角平分线的性质定理，熟练掌握等腰三角形的性质与判定、直角三角形的性质及角平分线的性质定理是解题的关键．根据基本作图（作已知角的角平分线）可对①进行判断；利用为角平分线可得，则根据三角形外角性质可计算出，则可对②③进行判断；根据角平分线的性质定理可对④进行判断． 【解析】解：根据作图过程可知是的平分线，故①正确； ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴，故②正确； ∵，故③正确； ∵垂直平分线上的点到角的两边距离相等， ∴点D到直线的距离等于的长度，故④正确； 综上分析可知：正确的有①②③④； 故答案为：①②③④． 考点八：角平分线与线段的垂直平分线综合 例8．如图，在中，，是的垂直平分线，恰好平分．若，则的长是（    ）    A．9 B．6 C．7 D．5 【答案】A 【分析】根据角平分线上点到角两边的距离相等可得，再根据等边对等角的性质求出，然后根据角平分线的定义与直角三角形两锐角互余，求出，再根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半求出，然后求解即可． 【解析】解：平分，且，， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，含度角的直角三角形的性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握角平分线上点到角两边的距离相等；等边对等角；直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键． 【变式8-1】．如图，在中，，的平分线交于D，是线段的垂直平分线，垂足为E．若，则的长为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质，垂直平分线的性质，所对的直角边是斜边的一半，先求出，再结合角平分线的性质，得出，最后根据所对的直角边是斜边的一半，得出，即可作答． 【解析】解：∵的平分线交于D， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵的平分线交于D，， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【变式8-2】．如图，的平分线与的垂直平分线相交于点D，，，垂足分别为E、F，，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的性质，中垂线的性质，连接，证明，得到，证明，得到，进而得到，求解即可． 【解析】解：连接，则：， ∵，，平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选：D． 【变式8-3】．如图，的平分线与的垂直平分线相交于点，，，垂足分别为E、F，，，则的值为（    ） A．1 B．2 C．2.5 D．3 【答案】D 【分析】此题考查线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质．解题关键在于注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 连接，证明，由全等三角形的性质得，证明，得出即可求解． 【解析】解：如图所示，连接， ∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵垂直平分， ∴， 在和中， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴． 故选D． 考点九：尺规作图（解答题） 例9．如图，在中． (1)尺规作图：作的平分线，交于点D；（保留作图痕迹，不写作法） (2)尺规作图：在（1）问所得的角平分线上取一点，使得； (3)求点D到的距离． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图及性质、线段垂直平分线的尺规作图、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识点，掌握相关结论是解题关键． （1）以点为圆心，任意长为半径画弧与相交；再以两交点为圆心，同一半径画弧即可完成作图； （2）作出线段的垂直平分线即可； （3）作，证，得，；根据，即可求解； 【解析】（1）解：如图所示：即为所求 （2）解：如图所示：点即为所求 （3）解：作，如图所示： ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴点D到的距离为． 【变式9-1】．如图，在中，，，，为的一个外角． (1)请按以下要求画出图形，并在图中标明相应字母． ①尺规作图：作的平分线（保留作图痕迹，不写作法）； ②取线段的中点N，过N画的垂线，与交于点F，与交于点E． (2)求证：． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作角平分线，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形． （1）①根据尺规作平分线的步骤作图即可作出图形； ②按要求作图即可； （2）根据证明可得结论． 【解析】（1）解：①②图形如图所示； （2）证明：∵，， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∵线段的中点为N， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【变式9-2】．如图，已知：在中，，． (1)作的平分线，交于点，作的垂直平分线，分别交、于点、．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）； (2)求证：点是中点； (3)连接，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的定义，含30度角的直角三角形的性质，线段垂直平分线和角平分线的尺规作图： （1）根据线段垂直平分线和角平分线的尺规作图方法作图即可； （2）先求出，则由直角三角形的性质得到，再证明，则，进而得到，则，即E是中点． （3）证明，又，连接，由等腰三角形的性质可知，又，从而求得 【解析】（1）如图所示， 即为所求； （2）∵在中，， ∵垂直平分， 即是的中点 （3）平分， ， 又， 连接， 则， 即 【变式9-3】．数学实验能增加学习数学的兴趣，也是提高动手能力和发展创新意识的手段之一．八年级1班同学在运用数学实验研究角平分线时提出了如下问题，请你解答． (1)“行知”小组开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，作图痕迹如下图： 其中射线为的平分线的共有______ A．1个        B．2个        C．3个        D．4个 (2)如图1，“善思”小组尝试制作可以用来平分角的仪器，其中，将仪器上的点A与的顶点R重合，调整和，使它们落在角的两边上，沿画一条射线，则就是的平分线．请说明理由． (3)如图2，“智慧”小组尝试制作可以用来三等分角的仪器，仪器是一个直角角尺，图中的点A，B，C在一条直线上，且． 小组同学给出仪器三等分的步骤： 第一步，将仪器如图3放置，使落到的边所在的直线上，画出此时所在直线； 第二步，将仪器如图4放置，使所在直线过的顶点O，且点A，C分别落在直线，射线上； 第三步，在图4中分别作射线，射线，得到图5． 下面是小组同学展示的部分推理过程： 如图5，过点A作，垂足为D，连接．由仪器特征和操作过程可知，且．∴（▲）． …… ①“▲”处的推理依据是 ； ②补全推理过程． 【答案】(1)D (2)见解析 (3)①角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上；②见解析 【分析】（1）根据作图痕迹，逐一进行判断即可； （2）根据，，结合即可得到即可得到证明； （3）①根据角平分线的判定方法解答即可； ②根据证明得，进而可证线和射线将三等分． 【解析】（1）解：第一个图为尺规作角平分线的方法，为的平分线； 第二个图，由作图可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为的平分线； 第三个图，由作图可知， ∴，， ∴ ∴， ∴为的平分线； 第四个图，由作图可知：，， ∴为的平分线； 故选D． （2）理由如下：在和中，， ∴   ∴． ∴沿画一条射线，则就是的平分线． （3）①角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上； ②∵点A，B，C在一条直线上，， ∴， ∴． ∵所在直线过的顶点O， ∴． 在和中， ∴． ∴． 又∵点C在上， ∴． ∴． ∴射线和射线将三等分． 【点睛】本题考查角平分线的判定，全等三角形的判定和性质，角平分线作图，平行线作图，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 考点十：最值问题 例10．如图，中， ， ，平分，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】延长交于点E，可证，再根据，可得的长度，当最大即可求得最大值． 【解析】解：如图所示延长交于点E， ∵平分，， ∴ ，， 在与中， ∵ ， ，， ∴ ∴ ， ， ∵ ∴ ， ∵， ∴ ， ∴当，最大，即最大， ∴答案为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、角平分线的性质及全等三角形性质，解题关键是根据中线将小三角形面积转换成大三角形面积取垂直时最大． 【变式10-1】．如图，在中，，，，，平分交于点，点，分别是，上的动点，连接，，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称——最短路线问题、角平分线的性质，解此题的关键是根据轴对称的性质找出点．如图，作点关于直线的对称点，作于由，推出根据垂线段最短可知，当，，共线，且与重合时，的值最小，最小值线段的长，根据三角形的面积即可求得线段的长． 【解析】解：如图中， 作点关于直线的对称点，作于， ， 根据垂线段最短可知，当，，共线，且与重合时，的值最小，最小值线段的长． 中，，，，， ． 故选：C． 【变式10-2】．如图，已知线段，点P为线段上一动点，以为边作等边，以为直角边，为直角，在同侧构造，点M为的中点，连接，则的最小值为 【答案】3 【分析】本题考查全等三角形判定及性质，等边三角形性质，直角三角形斜边中线性质，角平分线性质等．连接，并延长至，由直角三角形的性质得出，证明，由全等三角形的性质得出，当时，最小，则可得出答案． 【解析】解∶ 连接，并延长至， ∵，为的中点， ∴， ∵等边， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在的角平分线上运动， 当时，最小， ∴， 故答案为：3． 【变式10-3】．如图，在等腰中，，，，是底边上的高．在的延长线上有一个动点，连接，作，交的延长线于点，的角平分线交边于点，则在点运动的过程中，线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，作于，作于，连接，由角平分线得到，再证明得到，接着证明，得到，当时有最小值，即有最小值， 最后根据直角三角形得到． 【解析】解：作于，作于，连接， ，， 平分， 即平分， ，， ，， ，， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， 当时有最小值，即有最小值， 此时，， ∴， 故答案为： 考点十一：解答综合题 例11．如图，D、E分别是的中点，于D，于E． (1)求证：； (2)若交于点F，求证：点F在的角平分线上． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查垂直平分线性质以及全等三角形的证明及性质，熟练掌握全等三角形的证明方法是解题关键． （1）连接，利用垂直平分线性质即可得证； （2）先证，再连接，再证，即可得证． 【解析】（1）解：证明：如图，连接， ∵D、E分别是、的中点，于D，于E． ∴垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴． （2）证明∵，， ∴， 在与中， ，，， ∴， ∴， 再连接， 在与中，，， ∴， ∴， ∴点F在的角平分线上． 【变式11-1】．已知：如图，平分，于点E，于点D，． (1)求证：； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)108 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、角平分线的性质， （1）根据证明与全等，再利用全等三角形的性质解答即可； （2）由勾股定理可得，再根据及可得，再计算的面积即可． 【解析】（1）证明：平分，，， ， 在和中， ， ， ； （2）在中，，， ， 在和中， ， ∴， ， ∵， ， ． 【变式11-2】．如图，在四边形中，，延长，交于点，所在的直线垂直平分线段，过点作交于点． (1)试说明：； (2)若，的面积为，求的长． 【答案】(1)见详见 (2) 【分析】（1）根据线段垂直平分线段性质得到，，进而得到，，根据，得到，即可得到，再根据三角形外角的性质进一步得出，即可证明； （2）先证明，过点作，垂足为，根据的面积为求出，根据（1）可知平分，，，根据角平分线的性质即可求出． 【解析】（1）解：∵所在的直线垂直平分线段， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 过点作，垂足为， ∵的面积为， ∴， 又∵， ∴， 由（1）知， ∴平分， 又∵，， ． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，平行线的性质，直角三角形两锐角互余，角平分线的性质等知识，熟知相关知识并根据图形特点灵活应用是解题关键． 【变式11-3】．[定理]如图1，因为于B，于D，；所以___________． [运用]如图2，在四边形中，，求证：平分． [拓展]如图3，在等边中，，且；求的度数． 【答案】[定理] 平分；[运用]证明见解析；[拓展] 【分析】本题考查角平分线的判定定理，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等边三角形的性质； [定理]直接证明，得到，即平分； [运用]过C点于E，作，交延长线于点H，证明，得到，根据角平分线判定定理可得平分； [拓展]过作于，过作于，于，先有等边三角形得到，得到，，由等腰三角形的判定和性质可得，，此时同[运用]的模型一样，证明，得到，平分，由得到垂直平分，得到，求出，最后由求解即可． 【解析】[定理]解：∵，，， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴平分； [运用]证明：过C点于E，作，交延长线于点H，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴平分． [拓展]解：过作于，过作于，于， ∵等边， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵于，于， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴平分， ∵ ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 一、单选题 1．如图，在中，平分，交于点D，，垂足为点E，若，则的长为（   ） A．8 B．2 C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键． 直接根据角平分线的性质求解． 【解析】解：∵平分交于点， ， 故选：C． 2．点在的角平分线上，点到边的距离等于，点是边上的任意一点，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点P到OB的距离为5，再根据垂线段最短解答． 【解析】∵点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于5， ∴点P到OB的距离为5， ∵点Q是OB边上的任意一点， ∴PQ≥5． 故选：B． 【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键． 3．如图，OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，COM的面积为9，OM=6，则点C到射线OA的距离为（    ） A．9 B．6 C．3 D．4.5 【答案】C 【分析】作CN⊥OA，利用面积求出CM，根据角平分线的性质定理可得CN=CM，即可得答案． 【解析】解：过点C作CN⊥OA， ∵CM⊥OB，COM的面积为9，OM=6， ∴S△COM=， ∴， ∵OC为∠AOB的平分线，CN⊥OA，CM⊥OB， ∴CN=CM=3． 故选C． 【点睛】本题考查了三角形面积，角平分线的性质，角平分线上的点，到角两边的距离相等；熟练掌握角平分线的性质和面积公式是解题关键． 4．如图，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意先证明平分，然后根据四边形内角和求得度数，则结果可求． 【解析】∵， ∴平分， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查角平分线的判定，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 5．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E， =15，DE=3，AB=6，则AC长是(     ) A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得AC边上的高，再由S△ABD+S△ACD=S△ABC，即可得解． 【解析】解：作DF⊥AC于F，如图： ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE=DF=3， ∵S△ABD+S△ACD=S△ABC， ∴， ∴AC=4． 故选：A． 【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 6．在中，，AD平分交BC于点D，，则AC长为（    ）． A．4 B．5 C．6 D． 【答案】C 【分析】过作，垂足为，利用角平分线的性质证出，再利用全等的性质和勾股定理建立等式运算求解即可． 【解析】解：过作，垂足为 ∵为角平分线，， ∴ ∵， ∴ ∴ 在中， ∴ ∴整理可得： ∴ 解得： 故选： 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，熟悉利用角平分线的性质证三角形全等是解题的关键． 7．下列说法正确的有（    ） ①角平分线上任意一点到角两边的距离相等 ②到一个角两边的距离相等的点在这个角的平分线上 ③三角形三个角平分线的交点到三个顶点的距离相等 ④三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据角平分线的性质定理和判定定理逐一判断即得答案． 【解析】解：角平分线上任意一点到角两边的距离相等，故①正确； 在一个角的内部，到一个角两边的距离相等的点在这个角的平分线上，故②错误， 三角形三个角平分线的交点到三边的距离相等，故③错误，④正确； 综上，正确的说法是①④，有2个． 故选：B． 【点睛】本题考查了角平分线的性质和判定定理，属于基本题目，熟练掌握基本知识是解题的关键． 8．如图，AD平分，于点E，于点F，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用“HL”证明△AED≌△AFD得到AE=AF，∠EDA=∠FDG，∠DAE=∠DAF，从而可以利用“SAS”证明△AEG≌△AFG，△DEG≌△DFG，由此求解即可. 【解析】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE=DF，∠DEA=∠DFA=90° ∵AD=AD， ∴△AED≌△AFD（HL），故B不符合题意； ∴AE=AF，∠EDA=∠FDG，∠DAE=∠DAF， ∵AG=AG，DG=DG ∴△AEG≌△AFG（SAS），△DEG≌△DFG（SAS），故A和C不符合题意； 根据现有条件无法证明△BDE≌△CDF，故D符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 9．如图，在中，，，．、分别平分，，则的长为（    ）    A． B． C．4 D．2 【答案】A 【分析】过点，分别作的垂线，垂足分别为，根据题意可得是的角平分线，则是等腰直角三角形，，进而勾股定理求得，等面积法求得的长，即可求解． 【解析】解：如图所示，过点，分别作的垂线，垂足分别为，    ∵、分别平分，， ∴， ∴， ∴是的角平分线， ∴，则是等腰直角三角形， ∴， 在中，，，． ∴， 设， ∴ 即 解得：， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了角平分线的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 10．如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，下列三个结论：①∠AOB=90°+∠C；②当∠C=60°时，AF+BE=AB；③若OD=a，AB+BC+CA=2b，则S△ABC=ab．其中正确的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】B 【分析】由角平分线的定义结合三角形的内角和的可求解∠AOB与∠C的关系，进而判定①；在AB上取一点H，使BH＝BE，证得△HBO≌△EBO，得到∠BOH＝∠BOE＝60°，再证得△HAO≌△FAO，得到AF＝AH，进而判定②正确；作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，根据三角形的面积可证得③正确． 【解析】解：∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O， ∴∠OBA＝∠CBA，∠OAB＝∠CAB， ∴∠AOB＝180°−∠OBA−∠OAB＝180°−∠CBA−∠CAB ＝180°−（180°−∠C）＝90°＋∠C，①错误； ∵∠C＝60°， ∴∠BAC＋∠ABC＝120°， ∵AE，BF分别是∠BAC与ABC的平分线， ∴∠OAB＋∠OBA＝（∠BAC＋∠ABC）＝60°， ∴∠AOB＝120°， ∴∠AOF＝60°， ∴∠BOE＝60°， 如图，在AB上取一点H，使BH＝BE， ∵BF是∠ABC的角平分线， ∴∠HBO＝∠EBO， 在△HBO和△EBO中， ， ∴△HBO≌△EBO（SAS）， ∴∠BOH＝∠BOE＝60°， ∴∠AOH＝180°−60°−60°＝60°， ∴∠AOH＝∠AOF， 在△HAO和△FAO中， ， ∴△HAO≌△FAO（ASA）， ∴AF＝AH， ∴AB＝BH＋AH＝BE＋AF，故②正确； 作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M， ∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O， ∴点O在∠C的平分线上， ∴OH＝OM＝OD＝a， ∵AB＋AC＋BC＝2b ∴S△ABC＝×AB×OM＋×AC×OH＋×BC×OD＝（AB＋AC＋BC）•a＝ab，③正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形全等的性质和判定，正确作出辅助线证得△HBO≌△EBO，得到∠BOH＝∠BOE＝60°，是解决问题的关键． 二、填空题 11．如图，在中，，平分，，则点D到的距离为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键．过点D作于E，结合题目中的条件，平分，利用角平分线的性质定理可得，再根据距离的定义即可解答． 【解析】解：过点D作于E， 平分，，， ，即点D到的距离为5． 故答案为：5． 12．如图，已知，且，则点C在 的平分线上，点A在 的平分线上． 【答案】 【分析】连接AC，根据角平分线的判定定理以及直角三角形的两个锐角互余的性质解答即可． 【解析】解：连接AC， ∵，， ∴AC平分， ∴点C在的平分线上，， ∵， ∴， ∴，即AC平分， ∴点A在的平分线上， 故答案为：，． 【点睛】此题考查角平分线的判定定理，直角三角形的两个锐角互余的性质，熟记角平分线的判定定理是解题的关键． 13．如图，在中，，根据尺规作图的痕迹作射线交边于点G．若，，则的面积为 ． 【答案】2 【分析】此题考查了尺规作角平分线，角平分线的性质．首先根据角平分线的性质得到，然后三角形面积公式求解即可． 【解析】解：如图所示，过点G作于点H，    由作图痕迹知平分，，， ∴， ∵， ∴的面积． 故答案为：2． 14．如图，是中的角平分线，于点，于点，，，，则长是 ． 【答案】3 【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解． 【解析】解：∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE=DF， ∴S△ABC=×4×2+AC×2=7， 解得AC=3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键． 15．如图，已知在中，CD是AB边上的高线，BE平分，交CD于点E，，，则的面积等于 ． 【答案】5 【分析】过作于点，由角平分线的性质可求得，则可求得的面积． 【解析】解：过作于点， 是边上的高，平分， ， ， 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 16．如图，在中，，平分交于点． （1）若，，则点到的距离是 ； （2）若，点到的距离为6，则的长是 ． 【答案】 3 15 【分析】（1）过点D作DE⊥AB于E，先求出CD，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=CD，即可求解； （2）根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CD=DE，再求出BD，然后根据BC=BD+CD计算即可求解． 【解析】解：（1）过点D作DE⊥AB于E， ∵BC=8，BD=5， ∴CD=BC-BD=8-5=3， ∵∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB， ∴DE=CD=3， 即点D到AB的距离是3； （2）∵∠C=90°，AD平分∠BAC， ∴DE=CD=6， ∵BD：DC=3：2， ∴BD=9， ∴BC=BD+CD=9+6=15． 故答案为3；15． 【点睛】本题考查角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，解题的关键是熟记性质并作出辅助线． 17．如图，△ABC的外角∠MBC和∠NCB的平分线BP、CP相交于点P，PE⊥BC于E且PE＝3cm，若△ABC的周长为14cm，S△BPC＝7.5，则△ABC的面积为 cm2． 【答案】6 【分析】过点P作PH⊥AM，PQ⊥AN,连接AP，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得PH=PE=PQ，再根据三角形的面积求出BC，然后求出AC+AB，再根据S△ABC= S△ACP+ S△ABP-S△BPC即可得解. 【解析】解：如图，过点P作PH⊥AM，PQ⊥AN，连接AP ∵BP和CP为∠MBC和∠NCB角平分线 ∴PH=PE，PE=PQ ∴PH=PE=PQ=3 ∵S△BPC=×BC×PE=7.5 ∴BC=5 ∵S△ABC= S△ACP+ S△ABP-S△BPC =×AC×PQ+×AB×PH-7.5 =×3（AC+AB）-7.5 ∵AC+AB+BC=14，BC=5 ∴AC+AB=9 ∴S△ABC=×3×9-7.5=6 cm2 【点睛】本题考查了角平分线上点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质是解题的关键，难点在于S△ABC的面积的表示． 18．如图，在中，，，，点在上，过点作的垂线，分别交射线，线段于点，，连接，恰好平分，则线段的长是 ．    【答案】/ 【分析】过点作于点，过点作于点，先利用三角形内角和定理计算出，在中可计算出，的值，再利用得到的值，接着根据角平分线的性质得到，，加上，设，则，接着表示出，于是得到方程并求解得，然后在中计算出的值，即可获得答案． 【解析】解：过点作于点，过点作于点，如图，    ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵恰好平分，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质定理、含30度角的直角三角形的性质等知识，正确作出辅助线是解题关键． 三、解答题 19．已知：如图，，垂足分别为D，E，与相交于点O，平分．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据角平分线性质定理可得，再证明，即可得到答案． 【解析】证明：∵平分， ∴ ， 在和中， ∴ ∴ 【点睛】本题考查角平分线性质定理，三角形的性质和判定，灵活应用知识点结合图形思考分析是解题重点． 20．如图，某市有两个粮食市场C、D，附近有两条交叉的公路．现计划修建一座大型粮仓P，为了运输方便，希望该粮仓到两条公路的距离相等，且到两个粮食市场C、D的距离也相等，请在图中设计出该粮仓的位置．（尺规作图，不写作法，写清结论．） 【答案】答案见解析 【分析】到OA和OB的距离相等，则点P在∠AOB的角平分线上；到点C、D的距离也相等，则点P还应该在CD的中垂线上，那么P点就是∠AOB的角平分线和 CD中垂线的交点． 【解析】 【点睛】本题考查角平分线和线段中垂线的实际应用，理解它们的概念才能正确解题． 21．如图，中，是的角平分线，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】先利用等角的余角相等得到∠BCD =∠A，再利用角平分线定义得到∠ACE=∠DCE，接着利用三角形外角性质得∠BEC=∠ACE +∠A =∠DCE +∠BCD，即∠BEC =∠BCE，于是可判断BC=BE，然后根据等腰三角形的性质易得EF=CF． 【解析】CDAB， ∠BDC= 90°， ∠BCD+∠CBD= 90°， ∠A +∠CBD = 90°， ∠BCD =∠A， CE是∠ACD的角平分线， ∠ACE=∠DCE， ∠BEC=∠ACE +∠A =∠DCE +∠BCD， ∠BEC =∠BCE， BC = BE， ， EF= CF． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，涉及余角的定义，角平分线和三角形外角，有一定综合性，难度一般，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题关键． 22．如图，，，垂足分别为D、E，、交于点O，． (1)求证：； (2)求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的判定． （1）利用证明； （2）根据全等三角形的性质得到，根据角平分线的判定定理即可证明平分． 【解析】（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵，， ∴平分． 23．如图，在中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，，三角形的面积是16，求的长度． 【答案】(1) (2)见详解 (3)2 【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题关键． （1）根据垂直得到，利用三角形外角的性质得到，再根据，即可求出的度数； （2）过点作，根据角平分线的性质得到，进而得到，再根据角平分线的判定定理即可证明结论； （3）根据三角形的面积公式求出，再根据（2）中结论即可求解． 【解析】（1）解：∵， ， ， ， ， ， 即． （2）证明：过点作交于点交于点， ， ， 由（1）可知，， ， 平分， ， ， 平分， ， ， 平分． （3）解：， ， ， ， ， ， ． 24．如图所示，直线交轴于点，交轴于点，且、满足． (1)如图1，若的坐标为，且于点，交于点，试求点的坐标； (2)如图2，连接，求证； (3)如图3，若点为的中点，点为轴正半轴上一动点，连接，过作交轴于点，当点在轴正半轴上运动的过程中，式子的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值． 【答案】(1) (2)详见解析 (3)不发生改变，等于4 【分析】此题考查了图形与坐标、全等三角形的判定和性质、角平分线的判定定理等知识． （1）求出，，则．证明；则，的坐标为，则，得到，即可得到答案； （2）过分别作于点，作于点．证明，则．根据角平分线的判定得到平分，即可得到； （3）连接．证明，则，得到，即可得到结论． 【解析】（1）解：∵， ∴，， ∴，， 则． ∵，则，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴； ∴， ∵的坐标为， ∴， ∴， ∴的坐标为； （2）过分别作于点，作于点． ∴， ∵， ∴，， 在和中，， ∴， ∴． ∵，， ∴平分， ∴， （3）的值不发生改变，等于4． 理由如下：如图：连接． ∵，，为的中点， ∴，，， ∴，， ∴． ∵即， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 25．在等腰三角形中，为底边的中点，、分别为、上的点. (1)如图，于，于，求证：； (2)如图，，请判断和有什么数量关系？并说明理由； (3)如图，点与点重合，点为线段上的一点，且，，求的值. 【答案】(1)见解析； (2)，理由见解析； (3)． 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、角平分线的性质和判定、全等三角形的判定和性质、三角形外角的性质．解决本题的关键是作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的性质找对应边、对应角之间的关系． 连接根据等腰三角形的三线合一定理可知是的平分线，再根据角平分线上的点到角两边的距离相等可证结论成立； 过点作，，根据等腰三角形的三线合一定理可知是的平分线，再根据角平分线上的点到角两边的距离相等可知，利用可证，根据全等三角形的性质可得； 连接，过点作，，根据全等三角形对应边相等、对应角相等可知、，从而可得，可得：． 【解析】（1）证明：如下图所示，连接， 是等腰三角形，为底边的中点， 平分， ，， ； （2）解：， 理由如下： 如下图所示，过点作，， ， ， ， 是等腰三角形，为底边的中点， 平分， 又，， ， 在和中 ，. ； （3）解：如下图所示，连接，过点作， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， 是等腰三角形，为底边， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 $$