【杨仲鉴编写】2023-2024学年九年级下册数学 应用相似的知识解答含45º角条件的培优题

1 应用相似的知识解答含 45º角条件的培优题(练习) 杨仲鉴编写 1. 如图，在△ABC 中，∠ACB=90º，CA=CB，点 D在 BC边上，∠ADE=45º，CE // AB交射线 DE于 E，AD=4， 则 DE的长为 。 (备用) 2 2. 如图，抛物线 y= - 2 1 (x+k)(x﹣7)交 x轴于 A、B两点(xA＜0)，交 y轴的正半轴于点 C，OC=OB，点 P在第一象 限的抛物线上，AP交 y轴于 D，PE⊥y轴于 E，延长 EP到 G，使 PG=3CE，CG交 AP于 F，∠1=45°，AG交 抛物线于 H。(1) k的值为 ；(2) 当 PE=p时，CD= (用含 p的式子表示)；(3) 点 H的坐标为 。 3 3. 如图, 矩形 ABCD中，AB=6，BC=12，点 E、F分别在 BC、CD边上，连接 AE、AF，AE=3 5 ,∠1=45º，则 AF的长为 。 (备用) 4 4. 如图，△ABC中，∠C=90º，点 D在 CB边上，连接 AD，∠1=45º，CA=21，CB=28，则 CD的长为 。 (备用) 5 5. 如图，正方形 ABCD中，点 E、F分别在 BC、CD边上，连接 AE、EF、FA，∠1=45º，5CE=12CF，BD分别 交 AE、AF于 G、H，AG= 26，则 AD的长为 。 6 6. 在矩形 ABCD中，AB=3，AD=6。 (1) 如图 1，点 E在 AB边上，AE=1，点 F在 AD边上，点 G在 BC边上，连接 EF、EG，∠1=45º，EG=EF， 则 AF的长为 。 (2) 如图 2，动点 E在 BC边上，∠AEF=90º，∠EAF=∠BAC，连接 DF，则 DF+ 5AE的最小值为 。 图 1 图 2 1 应用相似的知识解答含 45º角条件的培优题(答案) 杨仲鉴编写 1. 如图，在△ABC中，∠ACB=90º，CA=CB，点 D在 BC边上，∠ADE=45º，CE // AB交射线 DE于 E，AD=4， 则 DE的长为 2 2 。 如左图，作 DF // AB交 AC于 F， 则∠3=∠BAC，∠FDC=∠B。 ∵∠5=90º，CA=CB， ∴∠B=∠BAC=45º。 ∴∠3=∠FDC=45º。 ∴△CDF是等腰直角三角形。 ∴DF= 2 DC。 ∵∠ADE=45º， ∴∠ADE=∠FDC。 ∴∠2=∠1。 ∵CE // AB， ∴∠B+∠BCE=180º。 ∴∠BCE=135º。 ∴∠1+∠E=45º。 又∵∠2+∠4=∠3=45º， ∴∠2+∠4=∠1+∠E。 ∴∠4=∠E。 ∴△ADF∽△EDC。 ∴AD：ED=DF：DC。 ∴AD= 2 ED。 ∵AD=4， ∴DE=2 2。 2 或由∠AFD=∠DCE=135º(等角的补角 相等)，∠3=∠1证得△ADF∽△DEC。 图 1 图 2 或：如左图，作 DF⊥BC交 AB于 F， 则∠4=∠FDC=90º。 ∵∠5=90º，CA=CB， ∴∠B=45º，∠4=∠5。 ∴BF= 2 BD，DF // CA。 ∴BF：FA=BD：DC。 ∴FA= 2 DC。∵∠2=45º， ∴∠1+∠6=45º，∠B=∠2。 ∵∠B+∠3=∠2+∠1， ∴∠3=∠1。∵CE // AB， ∴∠BCE=180º-∠B=135º。 ∴∠1+∠E=45º。∴∠6=∠E。 ∴△ADF∽△DEC。 ∴AD：DE=AF：DC。 ∴AD= 2 DE。∵AD=4，∴DE=2 2。 或：如图 1，连接 AE。 ∵∠3=90º，CA=CB，∴∠BAC=45º。 ∵CE // AB，∴∠2=∠BAC=45º。 又∵∠1=45º，∴∠2=∠1。 如图 2，作△ACE的外接圆 O。 假设点 D不在圆 O上， 则点 D在圆 O内，或圆 O外。 当点 D在圆 O内时，如图 2， 延长 AD交圆 O于 G，连接 GE， 则∠G=∠2。∵∠1＞∠G， ∴∠1＞∠2。这与∠1=∠2互相矛盾。 ∴点 D不在圆 O内； 同理可证：点 D不在圆 O外。 ∴假设不能成立。∴点 D在圆 O上。 如图 1，∴A、D、C、E四点共圆。 ∴∠AED=∠3=90º。 ∴△ADE是等腰直角三角形。 ∴AD= 2 DE。又∵AD=4，∴DE=2 2。 3 图 3 或：如图 3，作 AF⊥DE于 F，连接 CF， 则∠AFD=90º。 ∵∠2=90º，CA=CB， ∴∠BAC=45º。 ∴点 C和点 F到 AD中点 O的距离相等。 ∴点 C、F都在以 AD为直径的圆 O上。 ∴∠ACF=∠1。 ∵∠1=45º， ∴∠ACF=45º。 ∵CE // AB， ∴∠ACE=∠BAC=45º。 ∴∠ACE=∠ACF。 ∴C、E、F三点共线。 ∴点 F在直线 CE上。