【杨仲鉴编写】2023-2024学年九年级下册数学 相似综合二次函数的培优题

1 相似综合二次函数的培优题(练习) 杨仲鉴编写 1. 如图，直线 l 切半径为 4的⊙O于 A，非直径 AP是动弦，PB⊥直线 l 于 B。设 PA=x，PB=y，则 x-y的最大值为 。还请你在备用图中画出此时的线段 PA和 PB。 (备用) 2 2. 如图，△CAB中，CA=CB=5，AB=6，点 D在 AB边上，AB=3AD，动△FDE≌△CAB，FD交 CA边于M，DE 交 CB边于 N，则 DM+ NDMA 12  的最小值为 。 3 3. 如图，抛物线 y= - 2 1 x2+x+ 2 3 交 y轴于 C，直线 y= 4 3 x交抛物线于 A(xA＞0)，动点 B在抛物线上(0＜xB＜xA)， BD⊥x轴于 D，BE⊥OA于 E，则 BD+BE的最大值为 。 4 4. 如图，抛物线 y=x2-4x+4交 y轴于 C，A是它的顶点，点 B(3，b)在抛物线上，异于 B的动点 D在第一象限内的 抛物线上，直线 DF // y轴，分别交直线 CB、CA于 E、F，FG // BD交直线 CB于 G，则点 G到直线 DF的距离 为 。 5 5. 如图，抛物线 y= 3 x2-4 3 x+3 3交 x轴于 A、B(点 A在点 B的左侧)，交 y轴于 C，∠ACD=60º，点 D在抛物 线上，则点 D的坐标为 。 6 6. 抛物线 y=x2+2x﹣3交 x轴于 A、B两点，交 y轴于点 C。 (1) 如图 1，点 D在第二象限的抛物线上，连接 AC、AD，∠DAB=∠ACO，则点 D的坐标为 ； (2) 如图 2，动点 E在线段 OC上，连接 AE，则 2AE+ 2 EC的最小值为 。 1 相似综合二次函数的培优题(答案) 杨仲鉴编写 1. 如图，直线 l 切半径为 4的⊙O于 A，非直径 AP是动弦，PB⊥直线 l 于 B。设 PA=x，PB=y，则 x-y的最大值为 2 。还请你在备用图中画出此时的线段 PA和 PB。 如左图，作直径 AC，连接 PC， 则∠1=90º。 ∵直线 l 切半径为 4的⊙O于 A， ∴AC=8，CA⊥直线 l。 ∵PB⊥直线 l 于 B， ∴CA // PB，∠ABP=90º。 ∴∠3=∠2。 ∴Rt△PAC∽Rt△BPA。 ∴AP：PB=AC：PA。 ∵PA=x，PB=y， ∴x：y=8：x。 ∴y= 8 1 x2。 ∴x-y=x- 8 1 x2。 配方得：x-y= - 8 1 (x-4)2+2 (0＜x＜8)。 结合其图象立得： 当 x=4时，x-y=2 (最大)。 ∴x-y的最大值为 2。 此时 PA=4。 在左图中，作等边△OAP， 作 PB⊥直线 l 于 B， 则 PA=OA=4，PB= 2 1 PA=2。 ∴PA-PB=2。 ∴线段 PA和 PB为所求。 2 2. 如图，△CAB中，CA=CB=5，AB=6，点 D在 AB边上，AB=3AD，动△FDE≌△CAB，FD交 CA边于M，DE 交 CB边于 N，则 DM+ NDMA 12  的最小值为 2 3 。 图 1 图 2 图 3 设 DM=x。 ∵△FDE≌△CAB， ∴∠1=∠A。 ∵CA=CB=5，AB=6，AB=3AD， ∴∠A=∠B，AD=2，DB=4。 ∵∠A+∠3=∠1+∠2， ∴∠3=∠2。 ∴△ADM∽△BND。 ∴DM：ND=MA：DB。 ∴MA • ND=4 DM。 ∴ NDMA 12  = x 3 。 设 DM+ NDMA 12  =y， 则 y=x+ x 3 =( x )2+( x 3 )2。 如图 2，当 DM⊥CA时，DM= 5 4 AD= 5 8 (最小)； 如图 3，当点M与点 C重合时，DM= 2 21 +4 = 17 (最大)。 ∴x的取值范围为 5 8 ≤x≤ 17 。 配方得：y=( x - x 3 )2+2 3 ( 5 8 ≤x≤ 17 )。 结合其图象立得：当 x = x 3 ，即 x= 3时，y=2 3 (最小)。 ∴DM+ NDMA 12  的最小值为 2 3。 3 3. 如图，抛物线 y= - 2 1 x2+x+ 2 3 交 y轴于 C，直线 y= 4 3 x交抛物线于 A(xA＞0)，动点 B在抛物线上(0＜xB＜xA)， BD⊥x轴于 D，BE⊥OA于 E，则 BD+BE的最大值为 10 31 。 (方便阅读) 设 BD与 OA的交点为 F， 作 AG⊥x轴于 G。 列方程组： 2y -0.5x x+1.5 y 0.75x.      ， 解之可求得：A(2， 2 3 )。 ∴OG=2，AG= 2 3 。 ∴OA= 2 2OG +AG = 2 5 。 设 B(b，- 2 1 b2+b+ 2 3 ) (0＜b＜2)， 则 F(b， 4