3.2 空间向量基本定理（课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020选择性必修第一册）

3.2空间向量基本定理 第3章 空间向量及其应用 教师 xxx 沪教版（2020）选择性必修第一册 向量共面的充要条件 空间向量基本定理的应用 空间向量的基本定理 01 03 02 CONTANTS 目 录 向量共面的充要条件 01 向量共面的充要条件（平面向量基本定理）： 如果 ， 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数 ，μ，使 ＝ ＋ μ ． 若 ， 不共线，我们把{， }叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 例题1.如图３- ２- ２，在长方体ABCD-A１B１C１D１ 中，点E是棱AA１ 的中点，点O是面对角线BC１ 与B１C的交点，试判断向量 是否共面． 例题2.利用向量证明：如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于这个平面（即垂直于这个平面中的任何直线）． 空间向量的基本定理 02 思考：任意一个空间向量可以用任意三个向量来表示吗？ 情况一：共面 情况二：不共面 ？ 对于任意三个不共面的向量能否表示空间中任意向量，我们先从空间中三个不共面的向量两两垂直这一特殊情况开始讨论. 三个两两垂直的向量 i j k P Q α O 表示为 吗？ i j k yj zk xi P xi i j k P yj zk 三个两两垂直的向量 我们称，， 分别为向量在 上的分向量. 思考：如果给定的三个不共面的向量不是两两垂直的，能用它们的线性运算表示任意一个空间向量吗 ？ α O P B C A Q x O Q y B C A 思考：如果给定的三个不共面的向量不是两两垂直的，能用它们的线性运算表示任意一个空间向量吗 ？ 如果 ， 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数 ，μ，使 ＝ ＋ μ ． 若 ， 不共线，我们把{， }叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 你能类比平面向量基本定理，写出空间向量基本定理吗？ 空间向量基本定理 如果三个向量不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得 . 若三个向量不共面，我们把叫做空间向量的一个基底，都叫做基向量.空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底. 空间的基底有无数个 特别地，我们常研究基向量两两垂直的情况 特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示. 由空间向量基本定理知，对空间中的任意向量，均可以分解为三个向量，， ，使 . 像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解. 则2e1-e2+3e3=p(e1+2e2-e3)+q(-3e1+e2+2e3)+z(e1+e2-e3) =(p-3q+z)e1+(2p+q+z)e2+(-p+2q-z)e3. ∵{e1,e2,e3}为空间的一个基底, 反思感悟 用基底表示空间向量的解题策略 1.空间中,任一向量都可以用一个基底表示,且只要基底确定,则表示形式是唯一的. 2.用基底表示空间向量时,一般要结合图形,运用向量加法、减法的平行四边形法则、三角形法则,以及数乘向量的运算法则,逐步向基向量过渡,直至全部用基向量表示. 3.在空间几何体中选择基底时,通常选取公共起点最集中的向量或关系最明确的向量作为基底,例如,在正方体、长方体、平行六面体、四面体中,一般选用从同一顶点出发的三条棱所对应的向量作为基底. 空间向量基本定理的应用 03 1.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点，求证：EF⊥AB1． 2如图，在直三棱柱ABC-A’B’C’中，AC=BC=AA’，，D，E 分别为 AB ，BB’的中点 （1）求证：CE； （2）求异面直线 CE 与 A’C所成角的余弦值. 解：设 ，，， 根据题意得 ，且 ∴ ， .∴ =，∴ ，即CE . 2如图，在直三棱柱ABC-A’B’C’中，AC=BC=AA’，，D，E 分别为 AB ，BB’的中点 （1）求证：CE； （2）求异面直线 CE 与 A’C所成角的余弦值. （2）∵ ，∴，， ∵=，∴cos. ∴异面直线CE与A’C所成角的余弦值为. 利用空间向量基本定理解决几何问题的步骤： (1)把几何问题转化为向量问题． (2)选择空间的某个基底表示未知向量． (3)证明垂直问题时，需结合数量积公式和运算律证明数量积为0； 求异面直线所成角，利用夹角公式cos θ＝|cos〈a，b〉|. (4)将向量问题回归到几何问题． 方法总结 3.如图，三棱柱ABC­A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C