3.1 空间向量及其运算（课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020选择性必修第一册）

3.1空间向量及其运算 第3章 空间向量及其应用 教师 xxx 沪教版（2020）选择性必修第一册 由平面向量到空间向量 空间向量的运算 空间向量的有关概念 01 03 02 CONTANTS 目 录 由平面向量到空间向量 01 平面向量的概念 定义 既有大小又有方向的量叫做向量 长度/模 向量的大小叫做向量的长度（或模） 表示法 几何表示法 字母表示法 用有向线段表示。 A B C D 用小写字母、等表示，或者用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。 几类特殊的平面向量 零向量 单位向量 相等向量 相反向量 规定长度为的向量叫零向量，记为 模长为的的向量叫单位向量 长度相等且方向相同的向量 长度相等且方向相反的向量，的相反向量，记为 共线向量 方向相同或相反的非零向量 规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量，都有 平面向量的线性运算 加法 减法 数乘 + + 三角形法则 平行四边形法则 三角形法则 ① ②当时，与同向； 当时，； 当时，与向. 加法交换律： 加法结合律： 数乘分配律： 空间向量的有关概念 02 情境导入：生活中的空间向量 F1 F2 F3 图1 线缆同时受到来 自不同方向的支持力 图2 跳伞运动员同时受到 重力、风力、绳索牵拉力 图3 水平抬起钢板，钢板受 到来自不同方向上的作用力 思考：每个场景中的力都能用平面向量表示吗？ 空间向量的有关概念 定义 与平面向量一样，在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量。 类比平面向量，你能给出空间向量的有关概念吗？ 长度/模 空间向量的大小叫做空间向量的长度（或模）记为. 表示法 几何表示法 字母表示法 用有向线段表示。 用小写字母、等表示，或者用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。 A B 空间向量的有关概念 零向量 单位向量 相等向量 相反向量 规定长度为的向量叫零向量，记为 模长为的的向量叫单位向量 长度相等且方向相同的向量 长度相等且方向相反的向量，的相反向量，记为 共线向量 表示若干空间向量的有向线段所在直线平行或重合 规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量，都有 辨析.判断正误. (1)空间两个向量方向相反时，它们互为相反向量（ ） (2)若空间两个向量相等，则它们方向相同，且起点相同（ ） (3)若空间两个向量起点相同且长度相等，则这两个向量相等（ ） (4)将空间所有单位向量平移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆（ ） (2)× 空间向量可平行移动，相等向量起点可以不同． (3)× 缺少另一条件：方向相同． (1)× 缺少另一条件：长度相等． (4)× 它们的终点构成一个球面． 空间向量的运算 03 空间向量的运算 思考：空间向量是如何运算的呢？与平面向量的运算有什么关系吗？ a b a b O A B 由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，这样任意两个空间向量的运算，都可以转化为平面向量的运算. 问题 在学习完平面向量的相关概念后，我们研究了平面向量的线性运算，你能类比平面向量，研究空间向量的线性运算吗？ 思考 空间中的任意两个向量是不是共面的？ 是，空间中的任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量. 空间向量的线性运算 加法   减法 数乘   空间向量的运算（同平面向量） 当λ＝0时，λa＝0 想一想 向量起点的选择对向量线性运算的结果有影响吗？ 没有影响，向量起点可以平移到任何位置. 空间向量的运算律 运算律 交换律：＋＝＋； 结合律：＋(＋)＝(＋)＋，λ(μ)＝(λμ)； 分配律：(λ＋μ)＝λ＋μ，λ(＋)＝λ＋λ.   （3）当≠0，≠0且≠0，≠1时，可分如下两种情况： ①当>0且≠1时，如图，在平面内任取一点，作＝， ＝， ＝， ＝，则＝+， ＝+. 由作法知∥，∠＝∠，| |＝λ||.所以＝.所以∽. 所以＝，∠＝∠. 因此点，，在同一条直线上，||＝||， 与的方向也相同.所以（+）＝+. ②当<0时，可类似证明（+）＝+. 思考　怎样作图表示三个向量的和，作出的和向量是否与相加的顺序有关？ 可以利用三角形法则和平行四边形法则作出三个向量的和.加法运算是对有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其和不变. 思考　由数乘λa＝0，可否得出λ＝0? 不能.λa＝0⇔λ＝0或a＝0. 探究 如图示，在平行六面体ABCD-A′B′C′D′ (底面是平行四边形的四棱柱) 中，分别标出 ， 表示的向量. 从中体会向量加法运算的交换律及结合律. 一般地，三个不共面的向量的和与这三个向量有什么关系？