3.3 空间向量的坐标表示（课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020选择性必修第一册）

3.3空间向量的坐标表示 第3章 空间向量及其应用 教师 xxx 沪教版（2020）选择性必修第一册 空间直角坐标系 空间向量的坐标表示 空间向量的数量积运算 01 03 02 CONTANTS 目 录 空间直角坐标系 01 由平面直角坐标系到空间直角坐标系 在平面内选取一点和一个单位正交基底以为原点，分别以, 的方向为轴,轴的正方向建立平面直角坐标系. O A(x,y) 如图，对平面内任一向量，存在唯一实数对，使 = 类似地，能否建立空间直角坐标系，建立空间向量坐标与空间点的坐标的一一对应呢？ 原 点 坐 标 轴 单 位 长 平 面 空 间 原点 原点 两条相互垂直的数轴：轴、轴 三条两两垂直的数轴、轴 单位长度为 单位长度为 空间直角坐标系，其中为单位正交基底，为原点，坐标轴为轴、轴、轴，坐标平面为平面， 平面，平面. 横轴 纵轴 竖轴 空间直角坐标系 ①画空间直角坐标系时，一般使(或)， ②通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别为平面， 平面，平面。 ③把空间分成八个部分,每个部分称为一个卦限。 ④我们约定坐标系采用右手制。 思考：在平面直角坐标系中，每一个点和向量都可用一对有序实数(即它的坐标)表示.对空间直角坐标系中的每一个点和向量，是否也有类似的表示呢？ 由空间向量基本定理， 存在唯一的有序实数组，使. 点在空间直角坐标系中的坐标： ：横坐标； ：纵坐标； ：竖坐标 既可以表示向量，也可以表示点 向量的坐标表示为 = 例1.如图，在长方体中，以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系. (1)写出四点的坐标； (2)写出向量，，，的坐标. 解(1):因为，所以， 因为，所以， 点在轴，轴，轴上的射影分别为, 且在坐标轴上的坐标分别为, 所以 点在轴，轴，轴上的射影分别为, 且在坐标轴上的坐标分别为, 所以. 例1.如图，在长方体中，以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系. (1)写出四点的坐标； (2)写出向量，，，的坐标. 解(2):， . 空间向量的数量积运算 02 空间向量的数量积 O A B 2.零向量与任意向量的数量积为0： 1.向量的数量积运算结果是一个数； “·”不可省略 3.求模： 4.空间向量的数量积的运算律： (数量积不可约分) (数量积不满足结合律) 如: (数量积不可作商) O A B O A B 1.找角：两向量同起点 2.范围： O A B O A B O A B 3.求角： 1.找角：两向量同起点 2.范围： 4.向量夹角与数量积的关系： ①求数量积：目标向量用已知模和夹角的同起点向量表示 空间向量的坐标表示 03 这说明：把向量用坐标表示后，两个向量相加（减），把它们的对应坐 标相加（减）；一个向量乘以一个实数，把它的坐标乘以这个实数． 如果向量不是由位置向量给出，也可以不通过位置向量得到此向量的坐标表示：设有空间任意两点P（x１，y１，z１）与Q（x２，y２，z２），则 即，一个向量的坐标等于这个向量的终点坐标减去它的起点坐标． 名 称 坐 标 表 示 加法 减法 数乘 数量积 模长 夹角 平行 垂直 平面向量运算的坐标表示 设， 类比平面向量坐标运算，你能得出空间向量坐标运算并给出证明吗？ 设 与平面向量运算的坐标表示一样，我们有： 空间向量运算的坐标表示 如何证明？ 空间向量运算的坐标表示 下面我们证明空间向量数量积运算的坐标表示. 设则 所以 利用向量数量积的分配律以及 得， 其他运算类似可证，请同学们自主完成。 名 称 坐 标 表 示 加法 减法 数乘 数量积 模长 夹角 平行 当时 垂直 空间向量运算的坐标表示 设 思考：你能利用空间向量运算的坐标表示推导空间两点间的距离公式吗？ O 如图建立空间直角坐标系， 设，是空间中任意两点， 则. 于是. 空间两点间的距离公式 练习.已知，求： (1) ＋，－，·， (2)(2)·(－)，(＋)·(－)． 解(1): ; ; . (2): (2)(－) ； (＋)(－). A 24 C 25 A D (2,0,3) (-2,-1,-4) (-4,2,-4) 29 C C B 35 感谢观看 $$