2024年 鲁教版 （五四制）中考数学一轮复习 一次函数专题复习---第10节 一次函数背景的存在性--等腰三角形

初中数学函数专题--一次函数 第10节 一次函数背景的存在性--等腰三角形 方法点拨 “两圆一线”得坐标： （1）以点A为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有AB=AC； （2）以点B为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有BA=BC； （3）作AB的垂直平分线，与x轴的交点即为满足条件的点C，有CA=CB． 几何法： （1）两圆一线作出点； （2）利用勾股、相似、三角函数等求线段长，由线 段长得点坐标． 代数法： （1）表示出三个点坐标A、B、C； （2）由点坐标表示出三条线段：AB、AC、BC； （3）分类讨论①AB=AC、②AB=BC、③AC=BC； （4）列出方程求解． 1.如图，已知直线l：与x轴交于点A，与y轴交于点B，将△AOB沿直线l折叠，点O落在坐标平面内的点C处． （1）求点C的坐标； （2）在x轴上是否存在点P，使△PAC是等腰三角形？若存 在求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 2.如图，直线y=x+1与y轴交于点A，与直线x=1交于点B，在直线x=1上是否存在点P，使得△ABP是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 3．已知A(－3，0)，B (0，4) ，点B在x轴上，且AB＝4． （1）求点B的坐标，在平面直角坐标系中画出△ABC，并求出△ABC的面积； （2）在y轴上是否存在点Q，使得△ACQ是等腰三角形？若存在请画出点Q的所有位置，并直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 4.如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，长方形OACB的顶点A、B分别在x轴与y轴上，已知OA＝6，OB＝10．点D为y轴上一点，其坐标为（0，2），点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿线段AC﹣CB的方向运动，当点P与点B重合时停止运动，运动时间为t秒． （1）当点P与点C重合时，求直线DP的函数解析式； （2）①求△OPD的面积S关于t的函数解析式； ②如图2，把长方形沿着OP折叠，点B的对应点B′恰好落在AC边上，求点P的坐标． （3）点P在运动过程中是否存在使△BDP为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 5如图，在平面直角坐标系中，直线l1的解析式为y＝x，直线l2的解析式为y＝﹣x+3，与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线l1与l2交于点C． （1）求出点A、点B的坐标； （2）在x轴上是否存在一点P，使得△POC为等腰三角形？若存在，请直接写出点P坐标，若不存在，请说明理由． 6．如图，已知函数的图象与轴交于点，一次函数的图象经过点，与轴以及的图象分别交于点、，且点的坐标为， （1）求的值及一次函数的表达式． （2）求四边形的面积； （3）在轴上找一点，使得以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标_______________． 7．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y＝kx与一次函数y＝﹣x+b的图象相交于点A（4，3），过点P（0，4）作x轴的平行线，分别交y＝kx的图象于点B，交y＝﹣x+b的图象于点C，连接OC． （1）求这两个函数的表达式； （2）求△OBC的面积； （3）在坐标轴上存在点M，使△AOM是以OA为腰的等腰三角形，请直接写出点M的坐标． 8．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx过点B（m，6），过点B分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为点A，C，∠AOB＝30°．动点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，动点Q从点B出发．以每秒个单位长度的速度向点C运动．点P，Q同时开始运动，当点P到达点B时，点P，Q同时停止运动，设运动时间为t秒． (1)求m与k的值； (2)设△PQB的面积为S，求S与t的关系式； (3)若以点P，Q，B为顶点的三角形是等腰三角形，请求出t的值．（温擎提示：在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半） 9．已知，如图1，是边长为1的正方形的对角线，平分交于点，延长到点，使，连接，交的延长线于点． （1）求证：． （2）求的长． （3）如图2，在上取一点，且，若以为轴，为轴建立直角坐标系，问在直线上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点坐标；若不存在，说明理由． 10．若直线 y mx 8 和 y nx 3 都经过 x 轴上一点 B，与 y 轴分别交于 A 、C． （1）写出 A、C 两点的坐标，A ，C ； （2）若∠ABO=2∠CBO，求直线 AB 和 CB 的解析式； （3）在（2）的条件下若另一条直线过点 B，且交 y 轴于 E，若△ABE 为等腰三角形，写点 E 的坐标（只写结果）． 11．如图，已知直线l1：与x轴交于点B，直线与y轴