精品解析：河北省衡水市武邑中学2024届高三上学期第三次调研考试数学试题

数学试题 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟 2．答题前请仔细阅读答题卡（纸）上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 3．选择题答案涂在答题卡上，非选择题答案写在答题卡的相应位置，在试卷和草稿纸上答题无效． 第Ⅰ卷:选择题（60分） 一、单选题，本题共8小题，每题5分，共40分，将答案填涂在答题卡上相应位置． 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知a为实数，若（i为虚数单位），则（ ） A. 1 B. C. D. 3. 已知锐角满足，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 4. 已知向量满足，且，则等于（ ） A. B. C. D. 7 5. 已知正三棱柱的高与底面边长均为2，则该正三棱柱内半径最大的球与其外接球的表面积之比为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C处的乙船，乙船立即朝北偏东θ角的方向沿直线前往B处救援，则sin θ的值为(　　) A B. C. D. 7. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 抛物线：与双曲线：有一个公共焦点，过上一点向作两条切线，切点分别为、，则（ ） A. 49 B. 68 C. 32 D. 52 二、多选题：本小题共4小题，全选对得5分，部分选对得2分，多选或错选均不得分，共计20分，将答案填涂在答题卡的相应位置． 9. 已知数列的前n项和为，且(其中a为常数)，则下列说法正确的是（ ） A. 数列一定是等比数列 B. 数列可能是等差数列 C. 数列可能是等比数列 D. 数列可能是等差数列 10. 以下四个命题表述正确的是（ ） A. 直线恒过定点； B. 圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1 C. 曲线与曲线恰有三条公切线，则 D. 若双曲线的一条渐近线被圆截得的弦长为，则双曲线的离心率为． 11. 如图，棱长为1的正方体中，为线段上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（ ） A. 直线与所成的角可能是 B. 平面平面 C. 三棱锥体积为定值 D. 平面截正方体所得的截面可能是等腰梯形 12. 已知函数，其中为自然对数的底数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的极值点为1 B. C. 若分别是曲线和上的动点.则的最小值为 D. 若对任意恒成立，则的最小值为 第Ⅱ卷:非选择题（90分） 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 若直线3x＋4y－8＝0被圆(x－a)2＋y2＝4截得的弦长为，则a＝______． 14. 某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为，深度为.如果池底每的造价为150元，池壁每的造价为120元，要使水池总造价最低，那么水池底部的周长为______. 15. 已知点在圆C：（）内，过点M的直线被圆C截得的弦长最小值为8，则______． 16. 已知抛物线的焦点到准线的距离为，为坐标原点，点在抛物线上，平面上一点满足，则直线斜率的最大值为_______. 四、解答题（本大题满分70分，每题要求写出详细的解答过程，否则扣分） 17. 已知数列的前n项和． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列前项和． 18. 已知函数. （1）求函数f（x）的单调递减区间； （2）已知锐角△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，求acosB﹣bcosC的取值范围. 19. 已知圆C：x2+y2﹣4y+1＝0，点M（﹣1，﹣1），从圆C外一点P向该圆引一条切线，记切点为T． （1）若过点M的直线l与圆交于A，B两点且|AB|＝2，求直线l的方程； （2）若满足|PT|＝|PM|，求使|PT|取得最小值时点P的坐标． 20. 如图，四棱锥的底面是等腰梯形，，，，，为棱上的一点． （1）证明：； （2）若二面角的余弦值为，求的值． 21. 已知曲线C上任意一点到点的距离比它到y轴的距离大2，过点的直线l与曲线C交于A，B两点． （1）求曲线C的方程； （2）若曲线C在A，B处的切线交于点M，求面积的最小值． 22. 已知函数. （1）当时，求函数在上的值域； （2）若函数在上仅有两个零点，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学试题 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟 2．答题前请仔细阅读答题卡（纸）上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 3．选择题