2024年中考数学专项复习题 圆中的相似三角形问题

2024年中考数学专项复习题 圆中的相似三角形问题 一、解答题 1．如图，四边形内接于，为的直径，和交于点，且． (1)求证：； (2)求证：； (3)若分别延长交于点，且，，求的半径． 2．如图，内接于⊙O，且为的直径，，与交于点E，与过点C的的切线交于点D，交于点F． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的长； (3)当点F为的中点时，直接写出的值． 3．如图，在锐角三角形中，，是的外接圆，连接，，延长交于点D． (1)求证：平分； (2)若的半径为5，，求的长． (3)若，求的值（用含m的代数式表示）． 4．如图，是四边形的外接圆，直径与弦交于点E．若．    (1)求证：． (2)当时，求： ①的值； ②的长． 5．如图，是的直径，为的弦，，与的延长线交于点P，过B点的切线交于点C． (1)求证：； (2)若，，求线段、的长． 6．如图，在中，是上（异于点，）的一点，恰好经过点，，于点，且平分．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径长． 7．如图,在中,,,为边上一点,过三点的交边交于点E,连接并延长交于点F,过点E作交于点G． (1)求证:是的切线． (2)如图,连接．已知． ①若,求的长． ②求的值． ③记的面积为,的面积为,求的值． 8．证明“眼球定理”． 如图，，的半径分别为，且，的切线，交于点，；的切线，交于点，．连接，，则总有．    (1)以下结论中所有正确结论的序号是______． ①； ②连接，； ③垂直平分和； ④的长只与，有关，与无关． (2)在（1）中正确结论的基础上，证明． 9．综合探究如图1，在矩形中（），对角线相交于点O，点A关于BD的对称点为，连接交于点E，连接． (1)求证：； (2)以点O为圆心，为半径作圆， ①如图2，与相切，求证：； ②如图3，与相切，，求的面积． 10．如图1，均为直角三角形，与相交于点，以为直径的恰好经过点，并分别于交于点和点，连接． (1)求证：； (2)如图2，过作，交于点，连接，若，则的值是多少？ (3)如图3，在此图情况下，若，试用含的代数式表示． 参考答案： 1．（1）解：，， ， ， ∴， ； （2）解：， ， 平分， 如图，作于， ， 是的直径， ， ， ， ，， ， ； （3）解：如图，连接， ， 由（2）可得：， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，，， ， ， ， ，， ， ， ， 解得：或（不符合题意，舍去）， 的半径为． 2．（1）连接， ∵为的切线， ∴， ∵为直径，点C在上， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， 在中，， ∴， 解得， ∴． （3）如图，延长交于H，连接， ∵为直径，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵F为的中点， 设，的半径为r， ∴， ∴ 解得， ∴， ∴． 3．（1）证明：过点A作于点P， ， ，， ∵点O是的外接圆圆心， ∴点O在上， ∴， 平分． （2）解：， ， 由（1）知， ∴， ∵， ， ，即， 解得，， ∴， ∴． （3）解：∵， ∴， ， ∴， ，， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．（1）证明：连接，如图， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴；    （2）解：①∵， ∴， ∴， ∴， ②过O点作于H点，如图， 设的半径为，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 解得（舍去）， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 5．（1）证明：连接， 则， ∴， 又为的直径， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 即； （2）解：在和中，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， 解得； 设，则，， 在中，利用勾股定理得 ， ， 解得， ∴． 6．（1）证明：连接．    ∵， ∴． ∵， ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∴． ∴，即． 又点在上， ∴是的切线． （2）解：∵， ∴． ∵， ∴． ∴， 即． ∵， ∴， 即的半径长为． 7．（1）解:证明:连接, , ∵过三点,,, ∴, ∴, ∵, ∴, ∴, ∴是的切线; （2）①解:∵,,, ∴, ∵, ∴设,则, ∴, ∴, 在中,, ∴,即, ∴, 在中,． 故答案为:． ②解:∵, ∴, ∵, ∴, ∵三点过,且, ∴为的中点,为直径, ∴, ∴, ∵, ∴, ∴, ∴, ∵, ∴设,则,,, ∴,, ∴, ∴, ∴,, ∴, ∴, ∴． 故答案为:． ③解:作交于点, ∵, ∵由②知,,,, ∴, ∵, ∴, ∴, ∴,即, ∴, ∴, ∴, ∴． 故答案为:． 8．（1）①设与分别与交于点，，连接， ∵是的切线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴，， 同理可证，， ∴，故①②③正确； ②设．