2024年九年级中考数学二次函数之菱形存在性问题

中考数学压轴题专项练习 二次函数之菱形存在性问题 1．（2023秋•九龙坡区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，且与x轴交于点和点B，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，过点P作于点E，作轴交BC于点F，求的最大值及此时点P的坐标； （3）将该抛物线沿射线CB方向平移个单位长度得到新的抛物线，平移后的抛物线与原抛物线相交于点D，点M为直线BC上的一点，在平面内确定一点N，使得以点B、D、M、N为顶点的四边形为菱形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 2．（2023•渝中区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC． （1）求线段AC的长度； （2）如图1，点P为直线AC上方抛物线上一动点，过点B作交y轴于点D，连接PD交AC于点E，连接BP，求面积的最大值及此时点P的坐标； （3）如图2，在（2）的条件下，点Q与点P关于原抛物线对称轴对称，将原抛物线沿着射线AQ方向平移个单位，得到新抛物线，M为直线与y轴的交点，N为直线l上一点，将直线l绕着点N逆时针旋转30°得到直线，交新抛物线于点G，点H为平面直角坐标系内任意一点，直接写出所有使得四边形MNGH为菱形的点G的横坐标． 3．（2023秋•九龙坡区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点P是抛物线上位于直线AC上方一动点，且在抛物线的对称轴右侧，过点P作y轴的平行线交直线AC于点E，过点P作x轴的平行线与抛物线的对称轴交于点F，求的最大值及此时点P的坐标； （3）在（2）中取得最大值的条件下，将该抛物线沿x轴向右平移6个单位长度，平移后的抛物线与平移前的抛物线交于点H，点M为平移前抛物线对称轴上一点．在平面直角坐标系中确定一点N，使以点H，P，M，N为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 4．（2022秋•婺源县期末）如图，已知抛物线与y轴相交于点C，顶点为D． （1）求直线CD的解析式； （2）点P为直线CD左上方抛物线上的一动点过点P作y轴的平行线交直线CD于点Q，当线段PQ取得最大值时，在抛物线的对称轴上找一点G，使的周长最小，求点G的坐标； （3）将抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线，与相交于点E，点F为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点H，使以点C，E，F，H为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（2023•青岛二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B点，与y轴交于点，点A在原点的左侧，点B的坐标为，点P是抛物线上一个动点，且在直线BC的上方． （1）求这个二次函数的解析式； （2）当点P运动到什么位置时，的面积最大？请求出点P的坐标和面积的最大值． （3）连接PO，PC，并把沿CO翻折，得到四边形，那么是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 6．（2023•清原县三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，点P为直线BC上方抛物线上一动点． （1）求抛物线的解析式； （2）过点A作交抛物线于点D，点Q为直线AD上一动点，连接CP，CQ，BP，BQ，求四边形BPCQ面积的最大值及此时点P的坐标； （3）将抛物线沿射线CB方向平移个单位，M为平移后的抛物线的对称轴上一动点，在平面直角坐标系中是否存在点N，使以点B，C，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，若不存在，请说明理由． 7．（2023秋•五莲县期中）如图，已知抛物线与x轴交点为A、B，A在B的左侧，与y轴交点为点C，且抛物线与直线交于A、C． （1）求直线AC的表达式； （2）D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求面积的最大值及此时D点的坐标； （3）若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由． 8．（2023秋•沙坪坝区期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于点A、B，且，． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点P为线段AC上方抛物线上的任意一点，过点P作轴交AC于D，交直线AC于点G，求DG的最大值及此时点P的坐标； （3）如图2，将抛物线沿着水平方向向右平移2个单位长度得到新的抛物线，点E为原抛物线与平移后的抛物线的交点，点M为平移后的抛物线对称轴上的一动点，点N为