安徽省六安第一中学2023-2024学年高三上学期第五次月考数学试题

六安一中2024届高三年级第五次月考 数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数实数，则（ ） A 0 B. －1 C. 2 D. －2 3. 已知双曲线方程为，则“”是“双曲线离心率为2”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若，，则的值为（ ） A. B. C. 0 D. 5. 已知椭圆E:＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为 A. ＋＝1 B. ＋＝1 C. ＋＝1 D. ＋＝1 6. 椭圆任意两条相互垂直的切线的交点轨迹为圆：，这个圆称为椭圆的蒙日圆．在圆上总存在点，使得过点能作椭圆的两条相互垂直的切线，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 各棱长均相等的三棱柱，平面，是的中点，点是内动点，记二面角的平面角分别为．当点到点的距离和到直线的距离相等时，则（ ） A. B. C. D. 8. 双曲线的中心为原点，焦点在轴上，两条渐近线分别为，，经过右焦点垂直于的直线分别交，于，两点.已知、、成等差数列，且与反向.则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分． 9. 已知、、是三条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若、是异面直线，，，且，则 10. 已知椭圆与双曲线有公共的焦点，，记与的离心率分别为，，在第一象限的交点为P，下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 已知数列满足，，，则（ ） A. 当且时，是等比数列 B. 当时，是等比数列 C. 当时，是等差数列 D. 当且时，是等比数列 12. 2021年3月30日，小米正式开始启用具备“超椭圆”数学之美的新logo（如图所示），设计师的灵感来源于曲线．当时，下列关于曲线的判断正确的有（ ） A. 曲线关于轴和轴对称 B. 曲线所围成的封闭图形的面积小于8 C. 设，直线交曲线于两点，则的周长小于8 D. 曲线上的点到原点的距离的最大值为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 平面向量与的夹角为，，，则__________． 14. 抛物线的焦点为，且抛物线与椭圆在第一象限的交点为A，若轴，则________． 15. 如图，将绘有函数 部分图象的纸片沿轴折成直二面角，此时之间的距离为，则＝_____________． 16. 已知点、关于坐标原点对称，，以为圆心的圆过、两点，且与直线相切.若存在定点，使得当运动时，为定值，则点的坐标为_______. 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，． （1）求角B； （2）若，，D为AC边的中点，求的面积． 18. 已知双曲线的一条渐近线为，其虚轴长为为双曲线上任意一点． （1）求证：到两条渐近线的距离之积为定值，并求出此定值； （2）若双曲线的左顶点为，右焦点为，求的最小值． 19. 记数列前项和为，已知. （1）证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 20. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，M，N分别为的中点，. （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 21. 直角坐标系中，抛物线与直线交于两点． （1）若点的横坐标为4，求抛物线在点处的切线方程； （2）探究轴上是否存在点，使得当变动时，总有？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 22. 已知椭圆的焦距为，点在椭圆上． （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆的左、右顶点分别为，点为椭圆上异于的两点，记直线的斜率分别为，且． ①求证：直线经过定点； ②设和的面积分别为，求的最大值． 六安一中2024届高三年级第五次月考 数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案