广东省深圳市福田区福田中学2023-2024学年高三上学期第三次月考（12月）数学试题

福田中学2023—2024学年度高三年级第三次月考 数学学科试卷 【试卷说明】本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟. 第Ⅰ卷选择题（12题，每题5分，共60分），第Ⅱ卷主观题（共90分），请将所有答案写在答题卡指定位置，姓名、班级、学号等一律写在信息填写处，并将学号用2B铅笔填涂在相应信息点，在对应信息填写处以外部分填写个人信息为无效. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C D. 2. 已知复数（为虚数单位），则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3 已知向量，，若，则实数m等于（ ） A. B. 0 C. 1 D. 4. 在等比数列中，，则（ ） A. -3 B. 3 C. 3或-3 D. 或 5. 函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 书籍是人类进步阶梯，数学名著更是如此，《九章算术》《孙子算经》《周髀算经》《海岛算经》是我国古代数学领域影响深远的四部著作，而《几何原本》《阿基米德全集》《圆锥曲线论》被称为“古希腊三大数学书”，代表了文艺复兴之前欧洲数学的最高成就，这些著作对后世的数学发展有着深远而广泛的影响．现从这七本名著中任选三本，则至少两本是中国数学名著的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若存在两个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知直线与曲线有两个不同公共点，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题5分，共20分） 9. 在某市高三年级举行的一次模拟考试中，某学科共有20000人参加考试．为了了解本次考试学生成绩情况，从中随机抽取了100名学生的成绩（成绩均为正整数，满分为100分）作为样本进行统计，并按照的分组作出频率分布直方图如图所示．则下列说法正确的是（ ） A. 样本的众数为70 B. 样本的分位数为78.5 C. 估计该市全体学生成绩的平均分为70.6 D. 该市参加测试的学生中低于60分的学生大约为320人 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 在区间上单调递减 C. 是函数图象的一条对称轴 D. 的图象关于点对称 11. 已知数列的前项和，则（ ） A. 不是等差数列 B. C. 数列是等差数列 D. 12. 一副三角板由两个直角三角形组成，如图所示，且，现将两块三角板拼接在一起，得到三棱锥，取和中点、，则下列判断中正确的是（ ） A. 直线面 B. 三棱锥体积为定值. C. 与面所成的角为定值 D. 设面面，则∥ 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（每小题5分，共20分） 13. 已知随机变量服从正态分布，且，则______. 14 已知，则________． 15. 已知数列的前n项和为，若，，且 ，则数列的通项公式为_____. 16. 已知直线和直线，则抛物线上的动点到直线和的距离之和的最小值为__________. 四、解答题（本题共6小题，共70分） 17. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知． （1）求A； （2）若，求的面积． 18. 已知是正项等比数列，，， （1）求数列的前项和； （2）若，求数列的前项和. 19. 如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，为棱上异于的点． （1）求证：平面； （2）若三棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值． 20. 5G技术是未来信息技术的核心，而芯片是5G通信技术的关键之一.我国某科创企业要用新技术对一种芯片进行试生产.现对这种芯片进行自动智能检测，已知自动智能检测显示该种芯片的次品率为1.5%，且每个芯片是否为次品相互独立.该企业现有试生产的芯片10000个，给出下面两种检测方法： 方法1：对10000个芯片逐一进行检测. 方法2：将10000个芯片分为1000组，每组10个，把每组10个芯片串联起来组成一个芯片组，对该芯片组进行一次检测，如果检测通过，那么可断定该组10个芯片均为正品，如果不通过，那么再逐一进行检测. （1）按方法2，求一组芯片中恰有1个次品的概率（结果保留四位有效数字）； （2）从平均检测次数的角度分析，哪种方法较好？请说明理由. 参考数据：，，. 21. 抛物线：过点，直线不经过点，直线与抛物线交于和两点，使得. （1）求抛物线的方程和准线方程. （2）直线是否经过定点？如果是，请求出定点的坐标；如果不是，请说明理由. 22. 已知函数． （1）判断函数的单调性． （2）若有两个不相等的实根，且，求证：． 福田中学2023—2024学年