2023—2024学年人教版数学九年级上册期末专项压轴题复习：证明题

2023—2024学年人教版数学九年级上册期末专项压轴题复习：证明题 1．如图，在⊙O中，，于点D，于点E． 求证：； 2．如图，四边形内接于，为的直径，平分． (1)试判断的形状，并给出证明； (2)若，求的长度． (3)在（2）的条件下，求点到的距离． 3．如图，在四边形中，，连接AC，将绕点B逆时针旋转60°，点C与点D重合，得到，若， (1)求证：是等边三角形； (2)求线段的长度． 4．如图，为的直径，B为上一点，D为的中点，过点D作交的延长线于点E，交的延长线于点F． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的长． 5．如图，是的直径，点C、D是上的点，且，分别与、相交于点E和F． (1)求证：点D为的中点． (2)若，，求半径． 6．如图，是的直径，为的切线，D为上的一点，，延长交的延长线于点E． (1)求证：为的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积．（结果保留） 7．如图，在中，O为上一点，以点O为圆心，为半径作圆，与相切于点C，延长交于点D，连接，且． (1)求证：是的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积． 8．如图，过等边的顶点A作的垂线l，点P为l上点（不与点A重合），连接，将线段绕点C逆时针方向旋转得到线段，连接． (1)求证：； (2)连接并延长交直线于点D，若．判断和的数量关系，并证明. 9．如图，是的直径，直线经过上的点E，于点C，交于D，平分∠BAC． (1)求证：直线是的切线； (2)若，求的长． 10．如图，是直角三角形的外接圆，直径，过点作的切线，与延长线交于点，为的中点，连接，，且与相交于点． (1)求证：与相切； (2)当时，求弦和弧所夹图形的面积； (3)在（2）的条件下，在弧上取一点，使，连接交弦于点，求的长度是多少？ 11．已知和是两个全等的等腰直角三角形，． (1)如图1，和分别与边交于点，过点作，且使，连接，求证： ①； ②； (2) 如图2，与边交于点与的延长线交于点，请探究和之间的数量关系，并说明理由． 12．如图，是圆O的直径，O为圆心，、是半圆的弦，且．延长交圆的切线于点E．    (1)判断直线是否为的切线，并说明理由； (2)如果，，求的长． (3)在（2）的条件下，将线段以直线为对称轴作对称线段，点F正好在圆O上，如图2，求证：四边形为菱形． 13．点是中边的中点，，，将绕点逆时针旋转，使它两边分别交，（或，的延长线）于点，，，连接． (1)如图1，当点，分别在，上时，求证：； (2)如图2，当点，分别在，的延长线上时，设四边形的面积为，，求与的函数关系式； (3)在（2）中，当时，求的值． 14．如图，在中，的平分线交于点E，在边上取一点O，以为半径作，恰好经过点E且分别与边交于点D，F，连接．    (1)求证：是的切线； (2)过点E作，垂足为H，求证：； (3)若，求的长． 15．如图1，为等腰直角三角形，，点D为外一点，连接，过点A作，交于点E，过点D作，垂足为H，． (1)求证：； (2)如图2，延长到点G，连接，使得，F为上一点，连接，若．求证：； (3)如图3，点K在内，连接，当的值最小时，直接写出的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．证明：如图，连接， ∵，，， ∴是的角平分线， ∴， ∴． 2．(1) 是等腰三角形； (2)的长为 (3)点到的距离为 【详解】（1）证明：∵是的直径， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； （2）解：由（1）可知是等腰直角三角形， ∴， ∵是直径， ∴， 在中，， ∴的长为； （3）解：如图所示，过点作于点， ∵， ∴， ∴点到的距离为． 3．（1）是由旋转得到的， ， ，，， 是等边三角形 （2）是等边三角形， ， ， ， 在中，， 4．（1）解：连接， ∵D为的中点， ， ∴， ， ， 即， ∵是的半径， ∴为的切线； （2）∵四边形是的内接四边形， ∴， 又∵， ∴， ， 等边三角形， ∴， 又∵， ∴弧的长． 5．1）∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴点D为的中点． （2）设的半径， ∵，， ∴， ， ∴， 解方程得． 故的半径是10． 6． （1）证明：连接OD， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 又∵是半径， ∴为的切线； （2）解：作于点F，连接， 由可得，是斜边的中线 ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴，， ∵过圆心，， ∴， ∴． 7．（1）解：过点作， ∵与相切， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为的半径， 又， ∴是的切线； （2）由（1）知：， ∵， ∴， 在中，，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 8．（1）证明：在等边中，，， 由旋转可得，，