陕西省西安市长安区第一中学2023-2024学年高三上学期第四次教学质量检测理科数学试卷

长安一中2021级高三第四次教学质量检测 数学（理科）试题 一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数满足，则的共轭复数虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 2. 设集合， 则=（ ） A. B. C. D. 3. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 4. 从某中学甲、乙两班各随机抽取10名同学，测量他们的身高（单位：），所得数据用茎叶图表示如图，由此可估计甲、乙两班同学的身高情况，则下列结论正确的是（ ） A. 甲乙两班同学身高的极差相等 B. 甲乙两班同学身高的平均值相等 C. 甲乙两班同学身高中位数相等 D. 乙班同学身高在以上的人数较多 5. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 记为等比数列的前项和，若，则（ ） A. 6 B. C. D. 18 7 当时，函数取得最大值，则（　　） A. B. C. D. 1 8. 函数的部分图象如图所示，则下列关于函数的说法正确的是（ ） ①的图象关于直线对称 ②的图象关于点对称 ③将函数图象向左平移个单位长度得到函数的图象 ④若方程在上有两个不相等实数根，则的取值范围是 A. ①④ B. ②④ C. ③④ D. ②③ 9. 公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率的范围是：，为纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就.甲同学是个数学迷，他在设置手机的数字密码时，打算将圆周率的前6位数字3，1，4，1，5，9进行某种排列得到密码.如果排列时要求两个1不相邻，那么甲同学可以设置的不同密码个数为（ ） A. 240 B. 360 C. 480 D. 720 10. 如图，正方形ABCD的边长为1，M、N分别为BC、CD的中点，将正方形沿对角线AC折起，使点D不在平面ABC内，则在翻折过程中，现有以下结论：①异面直线AC与MN所成的角为定值．②存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直．③三棱锥N－ACM与B－ACD体积之比值为定值．④四面体ABCD的外接球体积为．其中说法正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ①④ 11. 如图，，分别是双曲线的左、右焦点，，点在双曲线的右支上，的延长线与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则此双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 12. 已知函数的导函数是，的图象关于点对称，对任意实数都有，且在上单调递增，设，则的大小关系是（    ） A. B. C. D. 二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 若，与､的夹角都是60°，且，，则___________. 14. 的展开式中的常数项为__________. 15. 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足，记的面积为，外接圆的面积为，则______. 16. 已知函数，若不等式对恒成立，则实数的取值范围是__________. 三､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17. 已知数列的前项和为，且. （1）求的通项公式； （2）若，求. 18. 如图，直三棱柱中，，分别是，的中点，. （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值． 19. 2021年12月，新冠疫情的严重反弹，扰乱了西安市民乃至陕西全省人民正常的生活秩序，各行各业的正常生产、运营受到严重影响，相关部门，为了尽快杜绝疫情的扩散，果断实施了小区封控、西安市区封城、市民足不出户等有效措施.2022年1月下旬小区相继解封.某销售商场为尽快弥补疫情带来的损失，推行高档电器“大屏幕电视机、冰箱和洗衣机”三种商品的抢购优惠促销活动.活动规则是：人人都可以参加三种商品的抢购，但每种商品只能抢购一次一件；优惠标准是：抢购成功者，大屏幕电视机优惠800元；冰箱优惠500元；洗衣机优惠300元，张某参加了这次抢购且三种商品都抢购，假设抢购成功与否相互独立，抢购三种商品成功的概率顺次为、、，已知这三种商品都能抢购成功的概率为，至少一种商品能抢购成功的概率为. （1）①求、的值； ②求张某恰好抢购成功两种商品的概率. （2）求张某抢购成功获得的优惠总金额的分布列和数学期望. 20. 已知抛物线的焦点为F，抛物线H上的一点M的横坐标为5，为坐标原点，． （1）求抛物线H的方程； （2）若一直线经过抛物线H的焦点F，与抛物线H交于A，B两点，点C为直线上的动点． ①求证：． ②是否存在这样的点C，使得△ABC为正三角形?若存在，求点C的坐标