2024年中考数学一轮复习进阶 讲义 专题五 一元二次方程

专题五 一元二次方程——2024届中考数学一轮复习进阶讲义 考情分析 命题点 命题形式 命题热度 命题特点 一元二次方程及其解法 1.一元二次方程及其解法 ☆☆☆ 本专题从定义和解法的角度命题，多以选择题和填空题的形式考查，解答题常与不等式和函数结合，考查学生分析和解决实际问题的能力，其中增长率问题的考查在各地中考中都占据重要比重 根的判别式、根与系数的关系 2.根的判别式 ☆☆ 3.根与系数的关系 ☆☆ 一元二次方程的实际应用 4.握手问题 ☆ 5.增长率问题 ☆☆ 6.面积问题 ☆ 7.经济问题 ☆☆☆ 讲解一：一元二次方程及其解法 知识复习 一、一元二次方程的定义 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程. 一般形式 一般形式 项及项的系数 二次项为；二次项系数为 一次项为；一次项系数为 常数项为 特点 方程左边是关于未知数的二次整式，方程右边为0 1.是一元二次方程的前提为 2.判断一个方程是否是一元二次方程应化简后再进行判断，如不是一元二次方程 二、一元二次方程的解法 使方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.一元二次方程的解法有以下四种： 类别 适用情况 步骤 直接开平方法 形如的方程 ①两边开方； ②移项、系数化为1，求方程的解 因式分解法 方程化为一般形式后，左边能够分解因式 ①移：将方程右边化为0； ②分：将方程左边分解成两个一次因式积的形式； ③解：令每个因式分别为0，得到两个一元一次方程并求解 配方法 所有一元二次方程 ①化：将二次项系数化为1； ②移：将常数项移到等号右边； ③配：方程两边同时加上一次项系数一半的平方 ④解：开平方求解 公式法 所有一元二次方程 ①化：将方程化为一般形式，并确定的值； ②代：代入求根公式（） 1.将方程化为一般形式后，若，则方程无解. 2.用配方法时，将二次项系数化为1后，若一次项系数为偶数，则优先考虑运用配方法. （求解方法掌握不牢的，可以看下面的详细讲解） 直接开平方法解一元二次方程 1.直接开平方法：利用平方根的意义直接开平方，求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法. 2.方程的根 （1）当时，根据平方根的意义，方程有两个不相等的实数根 （2）当时，方程有两个相等的实数根 （3）当时，因为对任意实数x，都有，所以方程无实数根. 【注意】 （1）直接开平方法只适用于能转化为或形式的方程. （2）若，则x为p的平方根，即，切记不要漏掉负的平方根. （3）因为负数没有平方根，所以关于x的一元二次方程有解的前提条件是p是非负数，即. 因式分解法解一元二次方程 1.因式分解法：先对方程的左边因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法. 2.用因式分解法解一元二次方程的步骤 （1）移项：将方程化为一般式； （2）分解：将方程的左边分解为两个一次式的乘积； （3）转化：令每个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； （4）求解：解这两个一元一次方程，它们的解就是医院二次方程的解. 【注意】不能随意在方程两边约去含未知数的代数式.如，若约去x，则会导致丢掉这个根. 3.常见的可以用因式分解法求解的方程的类型 常见类型 因式分解为 方程的解 (a，b为常数) 配方法解一元二次方程 1.配方法：把方程的左边配成一个含有未知数的完全平方式、右边是一个常数的形式，进而用直接开平方法求解，这种通过配成完全平方式来解一元二次方程的方法，叫做配方法. 2.可化为的形式的一元二次方程的根 （1）当时，方程有两个不相等的实数根； （2）当时，方程有两个相等的实数根； （3）当时，因为对任意实数x，都有，所以方程无实数根. 3.用配方法解一元二次方程的一般步骤 一般步骤 方法 示例 一移 移项 将常数项移到等号右边，含未知数的项移到等号左边. 二化 二次项系数化为1 左右两边同时除以二次项系数 三配 配方 左右两边同时加上一次项系数一半的平方 ，即 四开 开平方求根 利用平方根的意义直接开平方 【注意】 配方法的依据是完全平方公式的逆用和直接开平方法，其实质是对一元二次方程进行变形，使其转化为能够直接开平方的方程形式，从而把一元二次方程转化为两个一元一次方程来解. 公式法解一元二次方程 1.一元二次方程的求根公式：当时，方程的实数根可写为 的形式，这个式子