【杨仲鉴编写】九年级下册数学 应用相似的知识求线段长的最小值或最大值

1 应用相似的知识求线段长的最小值或最大值(练习) 杨仲鉴编写 1. 如图，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，动点 D在 AC边上，连接 DB，将线段 DB绕点 D逆时针旋转 120° 得线段 DE，连接 BE、CE，则 CE长的最小值为 。 (备用) 2 2. 如图，在边长为 4的正方形 ABCD中，E是动点，BE=1，连接 AE，将线段 EA绕点 E顺时针旋转 90°得线段 EF，G是 AB的中点，连接 GF，则 GF长的取值范围为 。 3 3. 如图，△ABC中，∠ACB=90º，CA=CB=4，动点 D在 AB边上，连接 CD，将线段 CD绕点 C顺时针旋转 90° 得线段 CE，连接 AE，则 AE+EC长的最小值为 。 4 4. 如图，△ABC中，∠ACB=90º，CB=CA=6，△ADE中，∠ADE=90º，DE=DA，射线 BE、CD相交于 F，则 CF 长的最大值为 。 (备用) 5 5. 如图，△ABC中，∠ACB=90º，AC=3，BC=4，CD是中线，动点 E在直线 AC上，连接 DE，DF⊥DE交直线 BC于 F，连接 EF，则 EF长的最小值为 。 6 6. 如图，△ABC中，∠ACB=90º。∠A=30º，AC=12，动点 D在 AB边上，连接 CD，△CDE中，∠CED=90º， EC=ED，点 E和点 A位于 CD的两侧，连接 BE，则 BE长的最小值为______。 (备用) 7 7. 如图，平面直角坐标系中，A(2，4)，D(1，0)，动点 B在 x轴上，连接 AB，AC⊥AB交 y轴于 C，连接 BC， E是 BC的中点，连接 DE，则 DE长的最小值为 。 (备用) 8 8. 如图，平面直角坐标系中，A(0， 3 )，动点 C在 x轴上，CB⊥CA，CB= 3CA，连接 OB，则 OB长的最小 值为 。 (备用) 9 9. 如图，平面直角坐标系中，A(4，0)，动点 B在 y轴上，BC⊥BA，BC= 2 1 BA，连接 AC、OC，则 OC长的最 小值为 。 10 10. 如图，D是抛物线 y= 3 1 (x-3)2的顶点，异于 D的动点 A在抛物线上。连接 AD，DB⊥DA交抛物线于 B，作直 线 AB，DF⊥AB于 F，连接 CF，则 CF长的取值范围为 。(请先补全图形) (备用) 1 应用相似的知识求线段长的最小值或最大值(答案) 杨仲鉴编写 1. 如图，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，动点 D在 AC边上，连接 DB，将线段 DB绕点 D逆时针旋转 120° 得线段 DE，连接 BE、CE，则 CE长的最小值为 13 25360  。 图 1 (通过构造与等腰△BED有共同顶点 B的 等腰△BCF得到△BEC的相似△BDF) 图 2 解：如图 1，作 AG⊥BC于 G，在 AG 上取点 F， 连接 FB、FC、FD，使∠FBC=30º。 ∵AB=AC=13，BC=10， ∴AG垂直平分 BC。 ∴FB=FC。 ∵∠BDE=120º，DE=DB， ∴∠DBE=30º。 ∴∠FBC=∠DBE。 ∴∠1=∠2。 又∵BC：BF=BE：BD= 3：1， ∴△BCE∽△BFD。 ∴CE：FD=BE：BD= 3：1。 ∴CE= 3 FD。 ∴当 FD最小时，CE最小。 作 FH⊥AC于 H。 可证：CG= 2 1 BC=5，FG= 3 3 GC= 5 3 3 ， AG= 2 2AC CG =12，AF=12- 5 3 3 ， △AHF∽△AGC，FH：CG=AF：AC， FH：5=(12- 5 3 3 )：13，FH= 39 325-180 。 如图 2，当动点 D与点 H重合时， FD=FH= 39 325-180 (最小)。 ∴CE= 3 FD= 13 25360  (最小)。 2 图 3 (通过构造与等腰△BDE有共同顶点 B的 等腰△BCQ得到△BDC的相似△BEQ) 图 4 或：如图 3，当点 D从点 A运动到点 C时， 设点 E的起点为 P，终点为 Q， 连接 BP、BQ、PQ、EQ， 则△ABP、△CBQ、△DBE均为顶角等 于 120°的等腰三角形。 ∵△ABC中，AB=AC=13，BC=10， ∴点 P与点 Q均为定点。 ∴线段 PQ的位置是确定的。 ∵∠ABP=∠CBQ=30º。 ∴∠PBQ=∠ABC。 又∵BP：BA=BQ：BC= 3：1， ∴△PBQ∽△ABC。 ∴∠BQP=∠1。 同理可证：△EBQ∽△DBC。 ∴∠BQE=∠1。 ∴∠BQE=∠BQP。 ∴动点 E都在线段 PQ 上。 作 CH⊥PQ 于 H，作 PG⊥BQ 于 G。 可证：点 C在 PG 上，CG= 2 1 BC=5， PQ= 3AC=13