【杨仲鉴编写】九年级下册数学构造相似三角形解答培优题

1 构造相似三角形解答若干培优题(练习) 杨仲鉴编写 1. 如图，△ABC中，AD是中线，点 E在 AC边上，BE交 AD于 F，BF=3FE，则 AC EC 的值为 。 (备用) (备用) (备用) 2 2. 如图，△ABC 中，AD 是角平分线，点 E在 AB边上，CE 交 AD于 F，CF=CD，AF=3FD，EF=3，则 CD 的长 为 。 (备用) 3. 如图，在矩形 ABCD中，将△AED沿直线 AE折叠得△AEF，点 F在 BC边上，FG // CD交 AE于 G，连接 DG， AG=6，GF=2 5，则 BF的长为 。 3 4．如图，在边长为 6的正方形 ABCD中，E是 CD的中点，连接 AE、BE，BE交对角线 AC于 F，连接 FD交 AE 于 G，则 FG的长为 。 5. 如图，平面直角坐标系中有一矩形 ABCD，其中 A(0，0)、B(8，0)、D(0，4)，现将△ABC沿直线 AC折叠得 △AEC，则点 E的坐标为 。 4 6. 如图，△ABC中，AC=AB，点 D在 AB上，AD=2，DB=1，AE // BC，∠1=∠B，则 AE • BC的值为 。 7. 如图，△ABC中，AB=AC，O是 BC的中点，半圆 O分别切 AB、AC边于 D、E，MN切半圆 O于 F，分别交 AB、AC边于M、N。当 BM • CN=2 时，BC2的值为 。 1 构造相似三角形解答若干培优题(答案) 杨仲鉴编写 1. 如图，△ABC中，AD是中线，点 E在 AC边上，BE交 AD于 F，BF=3FE，则 AC EC 的值为 3 2 。 图 1 图 2 图 3 图 4 图 5 图 6 或：如图 3，作 EG // BC交 AD于 G，可证：DC=BD=3GE，AC=3AE， AC EC = 3 2 ； 或：如图 4，作 EG // AD交 BC于 G，可证：DC=BD=3DG，AC=3AE， AC EC = 3 2 ； 或：如图 5，作 FG // BC交 AC于 G，可证：BC=4FG，DC=2FG，AG=GC=3EG，AC=3AE， AC EC = 3 2 ； 或：如图 6，作 FG // AC交 BC于 G，可证：BC=4GC，DG=GC，AC=2FG，EC= 3 4 FG， AC EC = 3 2 。 如图 1，作 DG // BE交 AC于 G。 可证：CG：GE=CD：DB=1：1，CG=GE； △CDG∽△CBE，DG：BE=CD：CB=1：2， BE=2DG，BE=4FE，DG=2FE； △AFE∽△ADG，AE：AG=FE：DG=1：2， AE=EG，AE=EG=GC， AC EC = 3 2 。 或：如图 2，作 DG // AC交 BE于 G。 可证：BG：GE=BD：DC=1：1，BG=GE； BE=4FE，GE=2FE，GF=FE； △FDG∽△FAE，DG：AE=FG：FE，DG=AE； △BDG∽△BCE，DG：CE=BD：BC=1：2， CE=2DG；CE=2AE， AC EC = 3 2 。 2 2. 如图，△ABC中，AD是角平分线，点 E在 AB边上，CE交 AD于 F，CF=CD，AF=3FD，EF=3，则 CD的长 为 4 。 3. 如图，在矩形 ABCD中，将△AED沿直线 AE折叠得△AEF，点 F在 BC边上，FG // CD交 AE于 G，连接 DG， AG=6，GF=2 5，则 BF的长为 5 12 5 。 连接 DF交 AE于 O。设 OE=x。 可证：AE垂直平分 DF，∠1=∠2，Rt△OFG≌Rt△ODE(ASA)，OG=OE， DE=FG=2 5，Rt△EDO∽Rt△EAD，EO：ED=ED：EA，EO • EA=ED2， x(2x+6)=(2 5 )2。整理得：x2+3x-10=0。解之得：x1=2，x2= -5(不合题意舍 去)。OG=OE=2，AE=10，BC=AD= 2 2AE -DE =4 5，AB // GF // EC， BF：BC=AG：AE，BF=4 5 ×6÷10= 5 12 5。 如左图，作 DG // CE交 AB于 G。 可证：∠1=∠2，∠3=∠4，∠3=∠5，∠5=∠6， ∠6=∠4，△ADG≌△ADC (ASA)，GD=CD； △AEF∽△AGD，EF：GD=AF：AD=3：4， GD=4，CD=4。 或如左图，作 FG // BC交 AC于 G。 可证：∠1=∠2，∠3=∠4，∠3=∠5，∠4=∠6， ∠5=∠6，△AFE≌△AFG (ASA)，EF=GF=3； △AFG∽△ADC，FG：DC=AF：AD=3：4， CD=4。 或如左图，作 CG // AB交射线 AD于 G。 可证：∠1=∠2，∠1=∠G，∠