2024年中考复习数学专项练习： 圆与二次函数结合型压轴题

2024中考复习数学专项练习： 圆与二次函数结合型压轴题 1．如图，在平面直角坐标系中，半径为1的圆的圆心在坐标原点，且与两坐标轴分别交于、、、四点，点坐标为．抛物线与轴交于点，与直线交于点、，且、分别与圆相切于点和点．    （1）求抛物线的解析式． （2）过点作圆的切线交的延长线于点，判断点是否在抛物线上，说明理由． （3）抛物线对称轴交轴于点，连接并延长交于点，求点的坐标． 2．如图，过点A（1，0）作x轴的垂线与直线y＝x相交于点B，以原点O为圆心、OA为半径的圆与y轴相交于点C、D，抛物线y＝x2+px+q经过点B、C．    （1）求p、q的值； （2）设抛物线的对称轴与x轴相交于点E，连接CE并延长与⊙O相交于点F，求EF的长； （3）记⊙O与x轴负半轴的交点为G，过点D作⊙O的切线与CG的延长线相交于点H．点H是否在抛物线上？说明理由． 3．如图，抛物线y＝ax2+2ax﹣3a（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA=OC，直线y＝﹣x与该抛物线交于E，F两点． （1）求抛物线的解析式． （2）P是直线EF下方抛物线上的一个动点，作PH⊥EF于点H，求PH的最大值． （3）以点C为圆心，1为半径作圆，⊙C上是否存在点D，使得△BCD是以CD为直角边的直角三角形？若存在，直接写出D点坐标；若不存在，请说明理由． 4．定义：若一个三角形存在两个内角之差是第三个内角的两倍，则称这个三角形为关于第三个内角的“差倍角三角形”．例如，在中，，，，满足，所以是关于的“差倍角三角形”． （1）若等腰是“差倍角三角形”，求等腰三角形的顶角的度数； （2）如图1，中，，，，小明发现这个是关于的“差倍角三角形”． 他的证明方法如下： 证明：在上取点，使得，连结，（请你完成接下去的证明） （3）如图2，五边形内接于圆，连结，与相交于点，，，是关于的“差倍角三角形”． ①求证：四边形是平行四边形； ②若，设，，求关于的函数关系式． 5．如图，在直角坐标系中，以点P（1，－1）为圆心、2为半径作圆，交x轴于A、B两点，抛物线（a＞0）过A、B两点，且顶点C在圆P上． （1）求圆P上劣弧AB的长． （2）求抛物线的解析式． （3）问：抛物线上是否存在一点D，使线段OC与PD互相平分？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由． 6．我们把方程(x- m)2+(y-n)2=r2称为圆心为(m，n)、半径长为r的圆的标准方程．例如，圆心为(1,-2)、半径长为3的圆的标准方程是(x- 1)2+(y+2)2=9．在平面直角坐标系中,圆C与轴交于点A．B．且点B的坐标为(8．0),与y轴相切于点D(0, 4)，过点A,B,D的抛物线的顶点为E． (1)求圆C的标准方程； (2)试判断直线AE与圆C的位置关系，并说明理由．    7．如图，已知抛物线经过点，．    （1）求的值，并将抛物线解析式化成顶点式； （2）已知点，点为抛物线上一动点．求证：以为圆心，为半径的圆与直线相切； （3）在（2）的条件下，点为抛物线上一动点，作直线，与抛物线交于点．当时，请直接写出直线的解析式． 8．如图：在直角坐标系中，以点A（，0）为圆心，以为半径的圆与轴交于B、C两点，与y轴交于点D． （1）求D点的坐标． （2）若B、C、D三点在抛物线y＝ax2＋bx＋c上，求这条抛物线的解析式． （3）若⊙A的切线交x正半轴于点M，交y轴的负半轴于点N，切点为P，且∠OMN＝30°，试判断直线MN是否经过所求抛物线的顶点？并说明理由． 9．问题提出 （1）如图①，等边△ABC有　 　条对称轴． 问题探究 （2）如图②，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，BC＝15，等边△EFP的顶点E，F分别在BA，BC上，且BE＝BF＝2．连接BP并延长，与AC交于点P′，过点P′作P′E′PE交AB于点E′，作P′F′PF交BC于点F′，连接E′F′，求S△P′E′F′． 问题解决 （3）如图③，是一圆形景观区示意图，⊙O的直径为60m，等边△ABP的边AB是⊙O的弦，顶点P在⊙O内，延长AP交⊙O于点C，延长BP交⊙O于点D，连接CD．现准备在△PAB和△PCD区域内种植花卉，圆内其余区域为草坪．按照预算，要求花卉种植面积尽可能小，求花卉种植面积（S△PAB+S△PCD）的最小值． 10．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线经过，两点，抛物线的顶点为，为线段上的一个动点（点不与点重合）． （1）求抛物线的解析式； （2）求周长的最小值； （3）点的坐标为，以点为圆心，的长为半径作圆，点在上，线段交抛物线于点，当的最大值为时，求点的坐标． 11．在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+(k-1)x-k与直线y=kx+1交于A、B两点，点A在点B的左侧