江西省上饶市广丰区南山中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学模拟试卷

江西省广丰区南山中学高二数学期末考试模拟卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40 分．在每小题四个选项中 ，只有一项是符合题目要求的） 1．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，过椭圆的上焦点作斜率为的直线，直线交椭圆于两点，若，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，，且，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在长方体中，下列运算结果化简正确的是（    ） A． B． C． D． 4．已知抛物线的准线过双曲线的一个焦点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 5．已知椭圆的右焦点为，点和所连线段的中点在椭圆上，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．已知双曲线（，）的离心率为，圆与C的一条渐近线相交，且弦长不小于4，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知圆与中心在原点､焦点在轴上的双曲线的一条渐近线相切，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．已知四面体是的重心，若，则（    ） A．4 B． C． D． 二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中 ，有多项是符合题目要求的。正确选项全对得5分，正确选项不全得2分，有错误选项得0分） 9．过双曲线的右焦点作渐近线的垂线交轴于点，垂足为点，若，则（    ） A．直线与圆相切 B．与有相同的焦点 C．的渐近线方程为 D．的离心率为 10．在边长为1的正方体中，动点满足．下列说法正确的是（    ） A．四面体的体积为 B．若，则的轨迹长度为 C．异面直线与所成角的余弦值的最大值为 D．有且仅有三个点，使得 11．已知向量，，则下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．不存在实数，使得 D．若，则 12．太极图被称为“中华第一图”，闪烁着中华文明进程的光辉，它是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美.定义：若一个函数的图象能够将圆的周长和面积同时等分成两个部分，则称该函数为圆的一个“太极函数”，设圆，则下列说法中正确的是（    ）    A．函数是圆的一个太极函数 B．函数的图象关于原点对称是为圆的太极函数的充要条件 C．圆的所有非常数函数的太极函数都不能为偶函数 D．函数是圆的一个太极函数 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点、的距离之比为定值（且）的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆，在平面直角坐标系中，、，点满足，则的最小值为 . 14．大约2000多年前，我国的墨子就给出了圆的概念：“一中同长也.”意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周上的点的距离都相等.这个定义比古希腊数学家欧几里德给出的圆的定义要早100年.已知是坐标原点，，若，则线段长的最大值是 . 15．数学家欧拉在1765年提出定理；三角形的外心､重心､垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点A(4，0)，B(0，2)，，则的欧拉线所在直线方程为 . 16．著名的数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中指出：三角形的外心、垂心和重心在同一条直线上，这条直线称为欧拉线.已知的三个顶点分别为，，，则的欧拉线的一般式方程为 . 四、解答题（本大题共6小题，共70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．已知椭圆的右顶点为，上顶点为，左､右焦点分别为为原点，且，过点作斜率为的直线与椭圆交于另一点，交轴于点. (1)求椭圆的方程； (2)设为的中点，在轴上是否存在定点，对于任意的都有？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由. 18．已知双曲线，点A，B在双曲线右支上，O为坐标原点． (1)若过点A作双曲线的两条渐近线的平行线，分别交两条渐近线于点M，N，证明：平行四边形的面积为定值； (2)若，D为垂足，求点D的轨迹的长度． 19．设抛物线上的点与焦点的距离为6，且点到x轴的距离为． （1）求抛物线的方程； （2）设抛物线的准线与x轴的交点为点，过焦点的直线与抛物线交于两点，证明：． 20．如图所示，在四棱锥中，底面为直角梯形，∥、、、，、分别为、的中点，． (1)证明：平面平面； (2)若与所成角为，求二面角的余弦值． 参考答案： 1．A 【分析】根据和长轴是短轴长的2倍可设椭圆方程，再联立直线和椭圆方