精品解析：上海市闵行区上海中医药大学附属浦江高级中学2026-2027学年高三上学期10月单元评估数学试题

2026学年第一学期高三数学10月单元评估 一、填空题（本题共12小题，1-6每小题4分，7-12每小题5分，共54分.） 1. 若，，则集合________. 2. 已知函数，则______． 3. 不等式的解集为______. 4. 若函数是上的奇函数，则_________. 5. 已知幂函数在上是减函数，则实数m的值为________． 6. 若函数的定义域为，则函数的定义域为___________ 7. 若，且，则______． 8. 已知函数，则满足的实数的取值范围是________. 9. 函数且是上的单调递减函数，则的取值范围是__________. 10. 已知函数是定义在上的周期为2的奇函数.当时，，则________. 11. 大西洋鲑鱼每年都要逆游而上游回产地产卵．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位：）可以表示为，其中表示鲑鱼的耗氧量的单位数．若一条鲑鱼游速为时耗氧量的单位数为，游速为时耗氧量的单位数为，则______． 12. 已知是定义在上且周期为3的函数，当时，，若函数在区间上有10个零点（互不相同），则实数的取值范围是_____. 二、选择题（本题共4小题，13-14每小题4分，15-16每小题5分，共18分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 13. 设、，，则下列不等式一定成立的是 A. B. C. D. 14. 命题“若，则”是真命题，实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 15. 已知且，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A. B. C. D. 16. 设是含数1的有限实数集，是定义在上的函数，若的图像绕原点逆时针旋转后与原图像重合，则在以下各项中，的取值不可能是（ ） A. B. 2 C. 1 D. 三、解答题（本大题共5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要步骤. 17. （1）已知函数的定义域为，求实数的取值集合； （2）求曲线在点处的切线方程. 18. 已知函数. （1）当时，求函数的最值； （2）求的最小值． 19. 回答下列问题 （1）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围； （2）已知函数，若实数满足，求实数的取值范围. 20. 已知函数，. （1）若函数的图像经过点，求实数的值； （2）当时，求函数在的最小值； （3）若对任意恒有，求实数的取值范围. 21. 设，其中常数. （1）判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）若不等式在区间上有解，求实数的取值范围； （3）已知：若对函数定义域内的任意，都有，则函数的图象有对称中心.利用以上结论探究：对于任意的实数，函数是否都有对称中心？若是，求出对称中心的坐标(用表示)；若不是，证明你的结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期高三数学10月单元评估 一、填空题（本题共12小题，1-6每小题4分，7-12每小题5分，共54分.） 1. 若，，则集合________. 【答案】 【解析】 【详解】因为，，所以. 2. 已知函数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式直接计算． 【详解】由已知得． 故答案为：. 3. 不等式的解集为______. 【答案】 【解析】 【详解】因为，∴，∴，∴解集为. 故答案为：． 4. 若函数是上的奇函数，则_________. 【答案】0 【解析】 【详解】因为函数是上的奇函数，所以在处有定义， 可得，得到，解得， 当时，得到，， 可得，此时函数是奇函数，符合题意. 5. 已知幂函数在上是减函数，则实数m的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用幂函数的性质建立方程，求解参数即可； 【详解】因为幂函数在上是减函数； 所以； 故答案为： 6. 若函数的定义域为，则函数的定义域为___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据抽象函数的定义域的求法求解. 【详解】若函数的定义域为， 则在中， 所以在中，解得. 所以函数的定义域为. 故答案为： 7. 若，且，则______． 【答案】6 【解析】 【分析】根据指对互化，结合换底公式即可求解. 【详解】由可得， 故， 由于，故， 故答案为：6 8. 已知函数，则满足的实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性与非负区间上的单调性，将函数不等式转化为绝对值不等式求解. 【详解】化简函数可得，显然是定义域为的偶函数， 当时，，由指数函数性质可知在上单调递增； 由偶函数性质，等价于，结合在上的单调性，可得， 对不等式两边平方，得，展开右侧得，移项化简得，解得， 故实数的取值范围是. 9. 函数且是上的单调递减函数，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据指数函数、一次函数的性质及单调递减函数的定义，列出不等式组求解即可. 【详解】由题意可得，解得， 所以的取值范围是. 故答案为：. 10. 已知函数是定义在上的周期为2的奇函数.当时，，则________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用周期性得，再结合奇偶性，得到，于是，解得，进而得到 【详解】由函数的周期为2可得， 所以 又因为函数是定义在上的奇函数，所以， 所以，又由周期性可知，， 所以，所以，解得. 所以. 又因为函数是定义在上的奇函数，所以， 所以. 11. 大西洋鲑鱼每年都要逆游而上游回产地产卵．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位：）可以表示为，其中表示鲑鱼的耗氧量的单位数．若一条鲑鱼游速为时耗氧量的单位数为，游速为时耗氧量的单位数为，则______． 【答案】81 【解析】 【分析】根据题意列出等式，根据对数的计算法则进行化简求解 【详解】当鲑鱼游速时，耗氧量单位数为，故，化简得. 当鲑鱼游速时，耗氧量单位数为，故，化简得. 两式相减得，. 所以. 故答案为：81 12. 已知是定义在上且周期为3的函数，当时，，若函数在区间上有10个零点（互不相同），则实数的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【详解】作出函数的图象，可见，当时，，，方程在上有10个零点，即函数和图象与直线在上有10个交点，由于函数的周期为3，因此直线与函数的应该是4个交点，则有． 【考点】函数的零点，周期函数的性质，函数图象的交点问题． 二、选择题（本题共4小题，13-14每小题4分，15-16每小题5分，共18分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 13. 设、，，则下列不等式一定成立的是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据不等式的性质，以及特殊值验证的方法，逐项判断，即可的出结果. 【详解】A选项，由题意，不妨令，，此时满足，但不满足，故A错； B选项，同A，令，，此时满足，但不满足，故B错； C选项，若，，此时满足，但不满足，故C错； D选项，因为单调递增，所以，由可得，即D正确. 故选：D. 【点睛】本题主要考查由不等式性质比较大小，属于基础题型. 14. 命题“若，则”是真命题，实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 转化条件得或，即可得解. 【详解】，或， 或， . 故选：C. 【点睛】本题考查了分式不等式的解法和条件之间的关系，属于基础题. 15. 已知且，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用基本不等式求得的最小值，从而将问题转化为，解之即可. 【详解】， ， 当且仅当且，即时等号成立， 因为关于的不等式恒成立， 所以，解得， 所以. 故选：A 16. 设是含数1的有限实数集，是定义在上的函数，若的图像绕原点逆时针旋转后与原图像重合，则在以下各项中，的取值不可能是（ ） A. B. 2 C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】以初始点为基础，通过旋转变换生成全部循环点，结合函数“一x对应唯一y”的单值性检验矛盾；若出现同横坐标、不同纵坐标的情况，则该 取值不可能. 【详解】平面上任意一点 绕原点逆时针旋转 后，得到的新点 满足坐标变换：， ， 推广到连续旋转 次（总旋转角为 ），点的坐标可写为：，. 函数的核心定义是：定义域内任意一个横坐标 ，只能对应唯一的纵坐标 ， 由题意，图像旋转 后与自身重合，因此初始点 旋转1次、2次……后的所有点都必须在函数图像上. 初始点的横坐标是1，显然 不是原点，而旋转，的不动点只有原点，所以旋转 8 次后总角度为，必然回到初始点，形成完整循环； 旋转 1、2、4 次均无法回到初始点，否则该点为对应角度的不动点，与 “非原点” 矛盾. 综上，初始点旋转后会生成恰好 8 个互不重合的点，构成一个循环轨道. 判断 是否可能，等价于检验：这8个循环点的横坐标是否全部互不重复.若存在两个点横坐标相同但纵坐标不同，则违反函数定义，该取值不可能. 设初始点为 ，其中 ，计算 次旋转后的坐标并检验单值性. 选项C：令 ，计算各次旋转的坐标： 旋转次数 总角度 横坐标 纵坐标 对应点 0 1 2 3 4 横坐标 同时对应 和 两个函数值，违反“一个 对应唯一 ”的函数定义. 因此 不可能. 选项A：令 ，计算8次旋转的横坐标： 旋转次数 横坐标 0 1 2 3 4 5 6 7 8个横坐标全部互不相等，每个横坐标对应唯一的纵坐标，取(这8个互不相同的横坐标，有限且含1)，在各点取对应纵坐标，则图像恰为这8个点组成的封闭轨道，旋转后与自身重合，满足题意，因此该取值是可能的； 选项B：令 ，计算8次旋转的横坐标： 旋转次数 横坐标 0 1 2 3 4 5 6 7 8个横坐标全部互不相等，每个横坐标对应唯一的纵坐标，取(这8个互不相同的横坐标，有限且含1)，在各点取对应纵坐标，则图像恰为这8个点组成的封闭轨道，旋转后与自身重合，满足题意，因此该取值是可能的； 选项D：令 ，计算8次旋转的横坐标： 旋转次数 横坐标 0 1 2 3 4 5 6 7 8个横坐标全部互不相等，每个横坐标对应唯一的纵坐标，取(这8个互不相同的横坐标，有限且含1)，在各点取对应纵坐标，则图像恰为这8个点组成的封闭轨道，旋转后与自身重合，满足题意，因此该取值是可能的； 只有 会导致同一横坐标对应两个不同函数值，违反函数的定义，因此不可能的取值为1. 三、解答题（本大题共5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要步骤. 17. （1）已知函数的定义域为，求实数的取值集合； （2）求曲线在点处的切线方程. 【答案】 （1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据偶次根式被开方数非负、定义域为的要求，分二次项系数为0和不为0两类讨论求解的取值范围； （2）先求导得到切线斜率，再结合切点坐标用点斜式推导切线方程。 【详解】（1）已知函数的定义域为，因此对任意，恒成立： ①当时，不等式化简为，对任意恒成立，符合条件； ②当时，为二次函数，需满足， 计算得， 即，结合解得， 综上的取值范围为. （2）对求导得， 曲线在点处的切线斜率为， 由直线的点斜式方程得切线为，整理为一般式即. 18. 已知函数. （1）当时，求函数的最值； （2）求的最小值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的单调性即可求解， （2）根据二次函数的性质，结合1和到对称轴的距离大小，即可求解. 【小问1详解】 当时，开口向下，对称轴为， 即在上是递增的，∴ ，故函数的值域为； 【小问2详解】 对称轴为,开口向下， ①当时，当时取到最小值 ②当时，当时取到最小值 综上可得， 19. 回答下列问题 （1）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围； （2）已知函数，若实数满足，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将题中所给问题转化为恒成立问题，利用绝对值三角不等式得到，进而得到满足条件，求解该不等式即可得到实数的取值范围； （2）由题得函数在上单调增，进而利用单调性得到，于是. 【小问1详解】 由绝对值三角不等式得 ， 要使不等式的解集为， 则，即或， 解得. 【小问2详解】 因为和都在上单调递增，所以函数在上单调递增， 所以等价于， 解得. 20. 已知函数，. （1）若函数的图像经过点，求实数的值； （2）当时，求函数在的最小值； （3）若对任意恒有，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）最小值为 （3） 【解析】 【分析】（1）由函数图象过，将点坐标代入函数表达式，即可求得； （2）令，先求出函数在上的单调性，再求得函数在上的单调性，根据函数的单调性即可求出的最小值； （3）由等价于，整理得对任意恒成立，求出函数在上的最大值，即可求得的取值范围. 【小问1详解】 函数的图像经过点，，解得. 实数的值为. 【小问2详解】 设，，； ，则函数在上单调递增，得函数在上单调递增. 当时，取得最小值，即. 函数在的最小值为. 【小问3详解】 ，，，即； ，对任意恒成立. 令，则为开口向下的二次函数，对称轴为； 二次函数在上单调递减，即时，取得最大值，得； 要使对任意恒成立，则. 即实数的取值范围为. 21. 设，其中常数. （1）判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）若不等式在区间上有解，求实数的取值范围； （3）已知：若对函数定义域内的任意，都有，则函数的图象有对称中心.利用以上结论探究：对于任意的实数，函数是否都有对称中心？若是，求出对称中心的坐标(用表示)；若不是，证明你的结论. 【答案】（1）当时，为奇函数；当时，既不是奇函数也不是偶函数，理由如下： 当时，，，所以，为奇函数. 当时，，， 因为，所以既不是奇函数也不是偶函数. （2）； （3）有对称中心，对称中心为. 【解析】 【分析】（1）当时，，为奇函数；当时，，既不是奇函数也不是偶函数； （2）转化为在区间有解，则，利用单调性求出最小值可得解； （3）假设存在对称中心，由恒成立，可求得结果. 【详解】（1）当时，为奇函数；当时，既不是奇函数也不是偶函数 ，理由略. （2）原问题可化为在区间有解，则， 因为函数在区间单调递减， 所以，所以， 所以a的取值范围是. （3）假设存在对称中心，则恒成立， 得恒成立 所以， 得，， 所以函数有对称中心. 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： ①若在上恒成立，则； ②若在上恒成立，则； ③若在上有解，则； ④若在上有解，则； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $