专题07 相似-章末复习与提升（5个知识点+方法练+创新练+成果练）-2024年九年级数学寒假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（人教版）

专题07 相似-章末复习与提升（5个知识点+方法练+创新练+成果练） 【目录】 【新知讲解】 知识点1.转化思想 知识点2.数形结合思想 知识点3.方程思想 知识点4.建模思想 【方法练】 【创新练】 【成果练】 【知识导图】 【新知讲解】 知识点1.转化思想 在数学研究中，常常将复杂问题转化为简单问题，将生疏问题转化为熟悉问题，将未知问题转化为已知问题,这种思想在数学中被称为转化思想在本章中,转化思想主要体現在利用相似图形的性质解决与线段相关的数量关系问题. 【例1】如下图，在等腰直角中，，的顶点D是的中点，且．现将绕点D旋转一周，在旋转一周过程中，当的两边，分别交射线于点G，H，把沿折叠，点G落在点M处，连接； (1)如下图，填空：线段与的关系是 _____； (2)如下图，连接，写出、、三条线段之间的关系，并说明理由． (3)若，则的长为 _____． 知识点2.数形结合思想 数形结合思想是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题的一种思想方法，它包含“以形助数”和“以数解形”两个方面，利用数形结合思想可以使抽象问题题具体化，复东问题简单化．本章中数形结合思想主要体现在解决位似图形的有关作图问题中 【例2】（2022·陕西西安·九年级西安市曲江第一中学校考期中）如图1，在中，，，点、分别在边、上，，连接．将绕点顺时针方向旋转，记旋转角为．    (1)[问题发现] ①当时，______； ②当时，的值是多少？请给出证明过程． (2)[拓展研究] 试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明； (3)[问题解决] 在旋转过程中，的最大值是多少？请直接写出答案． 知识点3.方程思想 方程思想是从分析几何问题的数量关系出发,恰当地设末知数，利用问题中的等量关系,把要解决的数学问题中的己知量和未知量之间的数量关系转化为方程，进而解决问题，本章中在求线段的长、周长、面积时，往往根据相似三角形的对应边成比例列方程求解． 【例3】（2023·河南焦作·九年级校联考期中）阅读材料、完成探究． 数学活动：测量树的高度． 在数学课上我们学过利用三角形的相似测高，在物理课我们学过光的反射定律．数学综合实践小组想利用光的反射定律测量河流对岸一棵树的高度AB，测量的部分步骤和数据如下： ①如下图，在地面上的点C处放置了一块平面镜，小华站在的延长线上，当小华从平面镜中刚好看到树的顶点A时，测得小华到平面镜的距离米，小华的眼睛E到地面的距离米； ②将平面镜从点C沿的延长线移动10米到点F处，小华向后移动到点H处时，小华的眼睛G又刚好在平面镜中看到树的顶点A，这时测得小华到平面镜的距离米，小华的眼睛G到地面的距离米； ③已知A，点B，C，D，F，H在同一直线上． (1)∵， ∴， ∴，…… 可得______；（写比值） (2) 利用以上信息，继续使用图形相似等有关知识计算树的高度． 知识点4.建模思想 本章中运用数学建模思想解决向题，是指在实际问题与相似三角形的问题之间建立模型，将—个实际应用问题转化为数学问题，运用相似三角形的有关知识求解。 【例4】（2023·辽宁沈阳·九年级统考期中）如图1是小红家阳台上放置的一个晒衣架，如图2是晒衣架一端横切面的示意图，立杆相交于点两点立于地面，经测量；，，，现将晒衣架完全稳固张开，此时扣链成一条线段，． (1)求证：． (2)小红的连衣裙穿在衣架后的总长度达到，垂挂在晒衣架上是否会拖落到地面？请通过计算说明理由． 【方法练】 1．（2023·广西桂林·九年级桂林十八中校考期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，，动点从点出发，在射线上以每秒1个单位长度的速度运动，另一动点与动点同时出发，在射线上以每秒2个单位长度的速度运动，设点P、Q运动时间为秒． (1)填空：直线的函数表达式为：______，是______三角形； (2)连接，设的面积为，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)在（2）的条件下，是否存在值，使得以点B，P，Q为顶点的与相似？若存在，求出值，并直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 2．（2023·湖北武汉·九年级武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考阶段练习）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，线段的端点在格点上，且．请选择适当的格点，用无刻度的直尺在网格中依次完成下列画图，保留连线的痕迹，不要求说明理由． (1)作，使线段，线段； (2)C为线段的中点，画； (3)选择适当的格点E，作； (4)若与交于点F，则的比（值）为______． 【创新练】 1．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点分别为和（点在点的左侧），与轴交于点，点是直线上方抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式