4.3指数函数与对数函数的关系-【题型·技巧培优系列】2023-2024学年高一数学同步精讲精练（人教B版2019必修第二册）

4.3指数函数与对数函数的关系 题型1反函数存在的条件 2 题型2求反函数的解析式 4 题型3反函数求值 5 题型4过定点问题 6 题型5反函数含参问题 7 题型6反函数的图像 7 题型7反函数的性质 8 题型8反函数定义域 9 题型9反函数的值域与最值 9 题型10反函数与单调区间 10 题型 11奇偶性相关问题 12 题型12反函数取值范围相关问题 13 题型13反函数与不等式 13 题型14反函数与零点结合 14 题型15有解问题 14 题型16恒成立问题 15 知识点 一.反函数 1.反函数的概念 一般地，如果在函数y=f（x）中，给定值域中任意一个y的值，只有唯一的x与之对应，那么x是y的函数，这个函数称为y=f（x）的反函数.此时，称y=f（x）存在反函数. 2.反函数的记法∶函数y=f（x）的反函数记作y=f-1（x）. 3.反函数的性质： ①y=f（x）的定义域与y=f-1（x）的值域相同， ②y=f（x）的值域与y=f-1（x）的定义域相同， ③y=f（x）与y=f-1（x）的图像关于直线y=x对称. ④如果y=f（x）是单调函数，那么它的反函数y=f-1（x）一定存在， ⑤y=f（x）与y=f- 1（x）具有相同的单调性. 此时，如果y=f（x）是增函数，则y=f-1（x）也是增函数； 如果y=f（x）是减函数，则y=f-1（x）也是减函数. 知识点二.指数函数与对数函数的关系 1.指数函数y=ax与对数函数y=logax（a>0且a≠1）互为反函数 2.指数函数y=ax与对数函数y=logax（a>0且a=1）的图像关于y=x对称. 由互为反函数的图像与性质可知，若函数y=f(x)的图像上有一点（a，b），则点（b，a）必在其反函数的图像上；反之，若点（b，a）在y=f(x)的反函数的图像上，则点（a，b）必在函数y=f（x）的图像上. 知识点三.求给定解析式的函数的反函数的步骤 1.求出原函数的值域，这就是反函数的定义域； 2.从y=f（x）中解出x 3.x，y互换并注明反函数的定义域. 题型1反函数存在的条件 【方法总结】 反函数的存在条件∶原函数中x、y是"一对一"确定的．一般来说，若f（x）在区间A上是单调的，那么f（x）在A上有反函数. 【例题1】试判断函数y=是否存在反函数. 【变式1-1】1. （2019·高一课时练习）下列函数中，存在反函数的是 A． B． C． D． 【变式1-1】2. （2020·高一课时练习）判断下列各对函数是否互为反函数,若是,则求出它们的定义域和值域: (1); (2). 【变式1-1】3. （2020·高一课时练习）分别判断下列函数是否存在反函数，如果不存在，说明理由；如果存在，写出反函数. （1） x 1 2 3 4 5 0 0 1 3 5 （2） x 1 2 3 4 5 0 1 5 【变式1-1】4.（2021·全国·高一课时练习）以下说法正确的有（    ） ①偶函数一定不存在反函数； ②若函数和其反函数的图象存在交点，则交点必定在直线上； ③函数和其反函数的图象的交点可能有无数个； ④定义域上严格单调的函数必存在反函数． A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 题型2求反函数的解析式 【方法总结】求反函数的两种方法 （1）可以通过对调y=f（x）中的x与y，然后从x=f（y）中求出y得到反函数y=f-1 (x). （2）从y=f(x）反解得到x=f -1（y），然后把x=f -1（y）中的x，y对调得到y=f -1(x）. 【例题2-1】（2019·高一课时练习）求下列函数的反函数： （1），则 ； （2），则 ； （3），则 ； （4），则 . 【变式2-1】1．（2021·高一课时练习）求下列函数的反函数． (1)； (2)； (3)（）． 【变式2-1】2．（2020下·高一课时练习）求下列函数的反函数： （1）； （2）； （3） 【变式2-1】3.（2022·上海市七宝中学）函数的反函数为 ______． 【变式2-1】4．（2021·全国·高一课时练习）已知函数，则的反函数是___________. 【变式2-1】5．（2021·上海市吴淞中学高三阶段练习）已知函数，为的反函数，则的反函数的表达式为_________. 【例题2-2】（2021·江苏·高一专题练习）与函数的图象关于直线对称的函数是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】1.（2019·高一课时练习）将的图象_________，再作关于直线对称的图象，可得到函数的图象（    ） A．先向上平移一个单位长度 B．先向右平移一个