4.4幂函数-【题型·技巧培优系列】2023-2024学年高一数学同步精讲精练（人教B版2019必修第二册）

3.3幂函数 题型1幂函数的判断 2 题型2求幂函数的解析式 5 题型3幂函数求值问题 7 题型4幂函数与参数取值问题 8 题型5幂函数过定点问题 10 题型6幂函数的定义域 13 ◆类型1幂函数的定义域 13 ◆类型2幂函数复合型函数的定义域 16 题型7幂函数的值域与最值 18 题型8幂函数的图象及应用 23 题型9幂函数的单调性应用 28 ◆类型1幂函数的单调区间 28 ◆类型2比较大小 31 ◆类型3利用幂函数解不等式 35 题型10幂函数的性质应用 39 题型11有值域求参数取值范围 42 题型12有解问题 46 题型13恒成立问题 51 知识点一.幂函数的概念 一般地，函数y＝xα叫做幂函数(power function)，其中x是自变量，α是常数． 知识点二.幂函数的特征 (1)xα的系数是1； (2)xα的底数x是自变量； (3)xα的指数α为常数． 只有满足这三个条件，才是幂函数．对于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函数都不是幂函数． 知识点三.一些常用幂函数的图象 同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，的图象(如图)． 知识点四.幂函数的共同特征 (1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)； (2)如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增； (3)如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴； (4)在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴． 知识点五.常见的五种幂函数的图象和性质比较 函数 y＝x3 y＝x2 y＝x y＝ y＝x－1 图象 性质 定义域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0} 值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0} 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在R上单调递增 在(－∞，0]上单调递减；在(0，＋∞)上单调递增 在R上单调递增 在[0，＋∞)上单调递增 在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减 公共点 (1,1) 题型1幂函数的判断 【方法总结】判断一个函数是否为幂函数 ①系数为1; ②指数为常数; ③后面不加任何项.反之,若一个函数为幂 函数,则该函数必具有这种形式. 【例题1】（2022上·陕西咸阳·高一统考期中）现有下列函数：①；②；③；④；⑤，其中幂函数的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式1-1】1. （2022下·陕西咸阳·高二校考期末）现有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中幂函数的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-1】2. （多选）（2023上·陕西·高一校联考期中）下列命题是真命题的是（    ） A．是幂函数 B．不是指数函数 C．不是幂函数 D．是指数函数 【变式1-1】3．（多选）（2023上·四川广安·高一校考期中）下列选项中哪些是幂函数（    ）． A． B． C． D． 【变式1-1】4．（多选）（2023上·四川雅安·高一校考阶段练习）下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 题型2求幂函数的解析式 【例题2】（2023上·天津红桥·高一天津市第五中学校考阶段练习）若幂函数的图象经过点，则的解析式为 . 【变式2-1】1．（2023上·贵州黔西·高一校考阶段练习）已知函数且的图象恒过定点A，且点A在幂函数的图象上，则 . 【变式2-1】2. （2023上·重庆·高一重庆市第七中学校校考阶段练习）已知幂函数满足以下条件： ①是奇函数；②在是增函数；③. 写出一个满足条件①②③的函数的一个解析式 . 【变式2-1】3. （2023·全国·模拟预测）已知幂函数的图像与两条坐标轴都没有交点，且不经过第三象限，则 （写出一个满足条件的函数即可）. 【变式2-1】4. （2024·四川宜宾·宜宾市叙州区第一中学校校考模拟预测）已知函数，且的图像恒过定点P，且P在幂函数的图像上，则 ． 题型3幂函数求值问题 【例题3】（2023上·贵州毕节·高一校考阶段练习）设函数，则（    ） A．-1 B．7 C．1 D．4 【变式3-1】1．（2023上·安徽安庆·高一安庆一中校考期中）已知函数是幂函数，则（    ） A． B．2 C． D．1 【变式3-1】2．（2023上·江苏淮安·高一校考阶段练习）若为幂函数，则（     ） A． B