专题08 三角函数的图象与性质（12大考点，知识串讲+热考题型+专题训练）-【寒假自学课】2024年高一数学寒假提升学与练（苏教版2019）

专题08 三角函数的图象与性质 知识聚焦 考点聚焦 知识点1 三角函数的图象与性质 1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)． (2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)． 2、正弦、余弦、正切函数的图象与性质 图象 定义域 值域 [-1,1] [-1,1] 最值 时， 时， 时， 时， 周期性 奇偶性 奇 偶 奇 单调性 在上单调递增 在上单调递减 在上单调递增 在上单调递减 在上单调递增 对称性 对称轴方程： 对称中心 对称轴方程： 对称中心 对称中心 知识2 三角函数的定义域与值域 1、三角函数的定义域求法 求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数图象来求解． 【注意】解三角不等式时要注意周期，且k∈Z不可以忽略． 2、三角函数的值域求法 （1）正余弦型：形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acos(ωx＋φ)＋b)，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后，求得sin(ωx＋φ)(或cos(ωx＋φ))的范围，最后求得最值 （2）二次型：形如y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)，可利用换元思想，设t＝sin x，转化为二次函数y＝at2＋bt＋c求最值，t的范围需要根据定义域来确定． （3）和差积换元型：形如sin xcos x±(sin x±cos x)，利用sin x±cos x和sin xcos x的关系，通过换元法转换成二次函数求值域问题 （4）分式型：①分离常数法：通过分离常数法进行变形，再结合三角函数有界性求值域；②判别式法 知识点3 三角函数的单调性问题 1、求三角函数的单调区间 （1）代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t)，利用基本三角函数的单调性列不等式求解； （2）图象法：画出三角函数的正、余弦和正切曲线，结合图象求它的单调区间 求解三角函数的单调区间时，若x的系数为负，应先化为正，同时切莫忽视函数自身的定义域． 2、已知单调性求参数的范围 （1）子集法：求出原函数的单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解； （2）反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解； （3）周期性法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式(组)求解 知识点4 求ω取值范围的常用解题思路 1、依托于三角函数的周期性 因为的最小正周期是，所以，也就是说只要确定了周期T，就可以确定的取值. 2、利用三角函数的对称性 （1）三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，也就是说，我们可以根据三角函数的对称性来研究其周期性，进而可以研究的取值。 （2）三角函数的对称轴比经过图象的最高点或最低点，函数的对称中心就是其图象与轴的交点（零点），我们可以利用函数的最值、零点之间的“差距”来确定其周期，进而确定的取值. 3、结合三角函数的单调性 函数的每一“完整”单调区间的长度（即两相邻对称轴的间距）恰好等于，据此可用来求的值或范围。 反之，从函数变换的角度来看的大小变化决定了函数图象的横向伸缩，要使函数在指定区间上具有单调性，我们忘完可以通过调整周期长度来实现，犹如通过弹簧的伸缩来抬举三角函数在区间上的单调性和最值等。 · 考点剖析 考点1 三角函数的定义域问题 【例1】（2023·河北邢台·高一邢台市第二中学校联考阶段练习）函数的单调递增区间为（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2023·浙江宁波·高一宁波市鄞州中学校考阶段练习）已知函数的定义域是，则函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2023·内蒙古包头·高一统考期末）函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2023·全国·高一专题练习）函数的定义域为 ． 【变式1-4】（2023·辽宁本溪·高一校考期中）函数的定义域为 ． 考点2 求三角函数的值域（最值） 【例2】（2023·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）函数的最大值与最小值之差为（ ） A． B．0 C．2 D． 【变式2-1】（20