预习篇 第18讲 空间中异面直线所成角、线面角和二面角 2024年高一寒假数学专题化复习与重点化预习（人教A版2019）

贵哥讲高中数学 第18讲 空间中异面直线所成角、线面角和二面角 本讲义整体上难度中等偏上，题目有一定的分层，题量略大！ 1 异面直线所成的角 ① 范围 ； ② 作异面直线所成的角：平移法. 在空间任取一点过作则 所成的角为异面直线所成的角.特别地，找异面直线所成的角时，经常把一条异面直线平移到另一条异面直线的特殊点(如线段中点，端点等)上，形成异面直线所成的角. 2 线面所成的角 ① 定义 如下图，平面的一条斜线(直线)和它在平面上的射影()所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角. 一条直线垂直平面，则；一条直线和平面平行或在平面内，则. ② 范围 直线和平面所成的角的取值范围是. 3 二面角 (1) 定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条棱叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.棱为，面分别为，的二面角记作二面角. 在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱的射线和，则射线和构成的叫做二面角的平面角. (2) 范围 二面角的平面角的取值范围是. 【题型1】异面直线所成角 【知识点解读】 1 范围 ； 2 作异面直线所成的角：平移法. 如图，在空间任取一点过作则 所成的角为异面直线所成的角.特别地，找异面直线所成的角时，经常把一条异面直线平移到另一条异面直线的特殊点(如线段中点，端点等)上，形成异面直线所成的角. 【例】在正方体中，求直线与直线、所成的角. 【典题1】 在正方体中，为的中点，则直线与所成的角为(　　) A. B. C. D. 【巩固练习】 1. (★★)在长方体中，分别是的中点，则异面直线所成角的正切值为(　　) A． B． C． D． 2. (★★)如图，空间四边形的对角线，分别为，的中点，并且异面直线与所成的角为，则 ( ) A. B. C. D. 3. (★★★)如图，在正方体中，棱长为的中点，则直线与直线所成角的余弦值为(　　) A． B． C． D． 4. (★★★)如图，在正方体中，动点在线段上，异面直线所成的角为，则的取值范围是 　　．(用区间表示) 【题型2】 线面所成的角 【知识点解读】 1定义 如下图，平面的一条斜线(直线)和它在平面上的射影()所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角. 一条直线垂直平面，则；一条直线和平面平行或在平面内，则. 2 范围 直线和平面所成的角的取值范围是. 【例】 在棱长为的正方体中，求直线与平面所成的角，直线与平面所成的角的余弦值. 【典题1】 如图已知在平面内，是平面的斜线，且，则直线与平面所成的角的大小为 　 　． 【典题2】如图，在三棱维中，底面，求证： (1)平面平面； (2)若中点，求直线与平面所成角的正弦值． 【巩固练习】 1. (★★)如图所示，在正三棱柱中，，则与侧面所成角的正弦值为(　　) A． B． C． D． 2. (★★)在三棱锥中，平面，且，则直线与平面所成的角为(　　) A． B． C． D． 3. (★★)如图，空间四边形中，，则所在直线与平面所成角的余弦值为(　　) A． B． C． D．1 4. (★★★)如图，在正方体中，为线段上的动点，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围是(　　) A. B. C. D. 5. (★★★★)如图，正方体的顶点在平面上，若与平面都成角，则与平面所成角的余弦值为　　． 6. (★★★)如图，直角梯形与等腰直角三角形所在的平面互相垂直．， ． (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【题型3】 二面角 【知识点解读】 1定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条棱叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.棱为，面分别为，的二面角记作二面角. 在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱的射线和，则射线和构成的叫做二面角的平面角. 2 范围 二面角的平面角的取值范围是. 【例】在正方体中，求二面角，二面角 【典题1】 已知菱形中，，沿对角线折叠之后，使得平面平面，则二面角的余弦值为(　　) A． B． C． D． 【巩固练习】 1. (★★)正方体中，二面角的平面角的余弦值为(　　) A． B． C． D． 2. (★★)如图，在直三棱柱中，中点，则平面角的正切值为 　　． 3. (★★★)如图，在四棱锥中，，中点．