预习篇 第12讲 正弦定理及其应用 2024年高一寒假数学专题化复习与重点化预习（人教A版2019）

贵哥讲高中数学 第12讲 正弦定理及其应用 本讲义整体上难度中等偏上，题目有一定的分层，题量略大！ 1正弦定理 内容 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 (其中是三角形外接圆半径) 变形 化边为角 ③ 化角为边 2 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题 (1) 已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角； (2) 已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边. 3 三角形解的个数问题 已知两边和其中一边的对角，不能确定三角形的形状，此时三角形解可能是无解、一解、两解，要分类讨论. 是锐角 是直角或钝角 一解 无解 一解 两解 一解 无解 【题型1】正弦定理解三角形 【知识点解读】 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 (其中是三角形外接圆半径) 证明 设的外接圆为， ① 当是直角三角形，，因为，所以， 同理，而，所以； ② 当是锐角三角形，过点作直径，连接， 则，同理，，所以； ③ 当是钝角三角形，令，优弧上取点， 与是锐角三角形时方法一样可得； 而，所以； 综上可得任意三角形中 (其中是三角形外接圆半径). 2 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题 (1) 已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角； (2) 已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边. 【典题1】在中，已知下列条件，解三角形： (1)； (2). 解析 (1)由正弦定理，得. . 当时，， ． 当时，， 此时无解． 故． (2)由正弦定理，得 又，. 当时，，； 当时，，， . 【巩固练习】 1.(★)中，，则( )　 A． B． C． D． 答案 B 解析 因为，所以 由正弦定理得， 故选． 2. (★)在中，已知，则角为　　 A． B．或 C．或 D． 答案 C 解析 由正弦定理知，， 所以， 所以，经检验，均符合题意． 故选：． 3. (★★)在中，分别为内角的对边，若，则　　. 答案 解析 因为，所以， 由正弦定理得． 4. (★★)记的内角的对边分别为，则的值为　　 . 答案 解析 由正弦定理得，所以，所以， 因为，所以，即可能为锐角，也可能为钝角， 所以． 【题型2】 三角形解个数 【知识点解读】 已知两边和其中一边的对角，不能确定三角形的形状，此时三角形解可能是无解、一解、两解，要分类讨论. 是锐角 是直角或钝角 一解 无解 一解 两解 一解 无解 【典题1】 求满足的三角形△ABC个数. 解析 方法1 利用正弦定理求解 由正弦定理可得：，则， ，且为锐角，有一解，故三角形只有一解； 方法2 图像法 先做出角过点作此时可知，以为圆心，5为半径画个圆弧，由于，显然圆弧与射线交于一个点，如图可知满足题意的三角形只有一个！ 【巩固练习】 1. (★★)(多选)已知的内角所对的边分别为，根据下列条件解三角形，有两解的是(　　) A． B． C． D． 答案 解析 对于，：是钝角三角形，只有一解； 对于，由正弦定理得，解得， 又，且，所以有个值，三角形有两解； 对于，由正弦定理得，解得， 由，所以，所以，三角形只有一解； 对于，由正弦定理得，解得， 又，所以，所以有两个值，三角形有两解． 故选：BD． 2. (★★★)在中，角的对边分别是，若，且三角形有两解，则角的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案 解析 方法一： 由条件知，即， ，∴为锐角，∴. 方法二： 如图，，以为圆心为半径作，则上任一点(与直线交点除外)可为点构成，当AB与相切时，，∠BAC=，当AB与⊙C相交时，，因为三角形有两解，所以直线应相交，. 【题型3】 正弦定理与余弦定理的综合运用 【知识点解读】 1 正弦定理的变形 化边为角 化角为边 2 正弦定理的“齐次角边互换” 等式中含有三个式子(、、)，每个式子中都有一个值，并且它们的次数都是，则可以把直接转化为对应的边、！ 同理. 思考以下转化是否正确 (1) (错)， (2) (对) 【典题1】 在中，角的对边分别为，若，则的面积的最大值为(　　) A． B． C． D． 解析 ， ， ， ， 约掉可得，即， 由余弦定理可得， ，当且仅当时取等号， 的面积≤4 故选：． 【典题2】如图，在锐角中，角所对的边分别为，已知． (1)求的值； (2)在的延长线