预习篇 第11讲 余弦定理及其应用 2024年高一寒假数学专题化复习与重点化预习（人教A版2019）

贵哥讲高中数学 第11讲 余弦定理及其应用 本讲义整体上难度中等偏上，题目有一定的分层，题量略大！ 1余弦定理 2 变形 3 三角形类型的判断 · ； · ； · . 4 面积公式 【题型1】余弦定理解三角形 【知识点解读】 1 解三角形 一般地，三角形的三个角,,和它们的对边,,叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 2 余弦定理 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. 即. 证明 因为 所以， 同理可得. 3 变形 4 利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题 (1) 已知三边，可求三个角； (2) 已知两边和一角，求第三边和其他两个角. 5 面积公式 证明 如图，在，内角所对的边分别是，，，过点作交于点， 则，其他类似证明可得！ 【典题1】 中，，则的面积是(　　) A． B． C．3 D． 【典题2】 在中，若，则的周长等于 . 【典题3】 的内角的对边分别为，已知，则　 ． 【巩固练习】 1. (★)在中，，则等于 ． 2. (★)在中，已知角的对边分别为，则边等于 ． 3. (★)在中，内角所对的边分别为．若，则值为 ． 4. (★★)的内角的对边分别为，已知，则 ． 5. (★★★)锐角三角形的面积是．则　　 A． B． C． D． 【题型2】 三角形形状的判断 【知识点解读】 三角形形状的判断 · ； · ； · . 【典题1】 小强计划制作一个三角形，使得它的三条边中线的长度分别为，，，则（　　） A．能制作一个锐角三角形 B．能制作一个直角三角形 C．能制作一个钝角三角形 D．不能制作这样的三角形 【巩固练习】 1. (★)若的三边长分别为，则该三角形的形状为 ． 2. (★★)在中，角的对边分别为．已知，则的形状为　 　． 3. (★★★)在钝角三角形中，，且是最大角，则的取值范围是____． 【题型3】 余弦定理的综合运用 【典题1】 已知中，角的对边分别为．若，则　　． 【典题2】在中，，，的对边分别为,,.若，当角最大时，则 ． 【典题3】在中，边上一点，，则=　 　． 【巩固练习】 1. (★★)在中，角的对边分别为．若，则的值为 ． 2. (★★)在中，若，则 ． 3. (★★)已知中，角的对边分别为，且满足，则 ． 4. (★★)已知中，角的对边分别为，且满足，则　　． 5. (★★)设的内角的对边分别为．若，则　　． 6. (★★)在中，内角的对边分别为，若，则 . 7. (★★)在平行四边形中，对角线与交于点，且，，则的取值范围是 ． 8. (★★★)已知在中，角的对边分别为，已知，则边上的中线长　　． 9. (★★★)已知的内角所对的边分别为的面积为边上的中线长为，则的周长为　 　． 10. (★★★)如图，在平面四边形中，是以为直角的等腰直角三角形，，则四边形面积的最大值为　　． 11. (★★★★)在中，边上一点，且满足，若，则=　　． 【题型4】 余弦定理的应用 【典题1】 海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的蓝洞的口径两点间的距离，需要在珊瑚群岛上取两点，测得，则两点的距离为(　　) A． B． C． D． 【巩固练习】 1. (★★)设为某海边相邻的两座山峰，到海平面的距离分别为米，50米．现欲在之间架设高压电网，须计算之间的距离．勘测人员在海平面上选取一点，利用测角仪从点测得的点的仰角分别为，并从点观测到点的视角为，则之间的距离为(　　) A．米 B．米 C．米 D．米 2. (★★)某市一棚户区改造用地平面示意图如图所示．该区域是半径为的圆面，圆面的内接四边形是原棚户区建筑用地，测量可知． (1)求原棚户区建筑用地中对角线的长度； (2)请计算原棚户区建筑用地的面积． 3. (★★★)如图，一架飞机以的速度，沿方位角的航向从地出发向地飞行，飞行了后到达地，飞机由于天气原因按命令改飞地，已知，且．问收到命令时飞机应该沿什么航向飞行，此时地离地的距离是多少？(参考数据： 1. (★)在中，角所对的边分别为，若，则(　　) A． B． C． D． 2. (★★)已知分别为内角的对边，若，则(　　) A．3 B．2 C．或2 D．3或2 3. (★★)在钝角三角形中，，则边的取值范围是(　　) A． B． C． D． 4. (★★★)已知三个内角的对边分别为，则的最小值为(　　) A． B． C．