复习篇 第4讲 函数的周期性和对称性 2024年高一寒假数学专题化复习与重点化预习（人教A版2019）

贵哥讲高中数学 第4讲 函数的周期性和对称性 本讲义整体上难度中等偏上，题目有一定的分层，题量略大！ 一 函数的周期性 1 概念 对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，都成立，那么把函数叫做周期函数，常数叫做这个函数的周期. 2 常见的结论 ① 若 ，则的周期是. ② 若 ，则的周期是； ③ 若，则的周期是. 二 函数的对称性 1 函数图象自身的对称关系 ① 轴对称：若则有对称轴. ② 中心对称：若函数定义域为，且满足条件为常数)，则函数的图象关于点对称. 2 两个函数图象之间的对称关系 ① 轴对称 若函数定义域为，则两函数的图象关于直线对称. 特殊地，函数与函数的图象关于直对称. ② 中心对称 若函数定义域为，则两函数与的图象关于点对称. 特殊地，函数与函数图象关于点对称. 3 周期性与对称性拓展 ① 若函数同时关于直线对称，则函数的周期；特殊地，若偶函数的图像关于直线对称，则函数的周期； ② 若函数同时关于点对称，则函数的周期 ； ③ 若函数同时关于直线对称，又关于点对称 则函数的周期 ； 特殊地，若奇函数的图像关于直线对称，则函数的周期. 【题型1】函数的周期性 【典题1】 若函数的定义域为，且对一切实数，都有，且，试证明为周期函数．并求出它的一个周期． 【典题2】若定义在实数集上的满足：时，，对任意x∈R，都有成立．等于(　　) 【巩固练习】 1. (★★)设是周期为的奇函数，当时，，则(　　) 2. (★★)已知是定义在上周期为的函数，当时，，那么当时，(　　) 3. (★★)已知奇函数对任意实数满足，当，，则(　　) A． B． C． D． 4. (★★★)定义在上的偶函数满足，当时，，则(　　) ． ． ． ． 5. (★★★)设函数是定义在上的奇函数，满足，若， ，则实数的取值范围是(　　) 6. (★★)函数为定义在上的奇函数，且满足，若，则　 ． 7. (★★★)设偶函数对任意，都有，且当时，，则　　． 8. (★★★)定义在上的奇函数满足，且在上单调递减．若方程在上有实数根，则方程在区间上的所有实数根之和是 。 9. (★★★)已知函数是定义域为的奇函数，且． (I)求的值； (II)证明函数是周期函数． 【题型2】 函数的对称性 【典题1】已知函数，则(　　) A．函数的图象关于对称 B．函数的图象关于对称 C．函数的图象关于对称 D．函数的图象关于对称 【典题2】若定义在上的增函数图象关于点对称，且，令，则下列结论不一定成立的是(　　) A．　　B．C． 　D． 【巩固练习】 1. (★★)函数的图象关于直线对称，那么错误的是(　　) A． 　　B． C．函数是偶函数 D．函数是偶函数 2. (★★)已知函数则下列描述中正确的是(　　) 函数的图象关于直线对称 函数的图象关于点对称 函数有最小值，无最大值 函数的图象是两条射线 3. (★★) 下列函数中，其图象与函数的图象关于点对称的是(　　) 4. (★★) 函数其图象的对称中心是(　　) 5. (★★★)已知函数的图象关于直线对称，则函数的值为(　　) 6. (★★)已知函数，则(　　) A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称 C．在上单调递减 D．在上单调递减，在上单调递增 7. (★★★)定义在上的函数的图象关于点成中心对称且对任意的实数都有且则(　　) 8. (★★★)已知函数的图象关于点对称，则　　． 【题型3】 函数性质的综合 【典题1】 已知定义在上的函数y=f(x)满足条件，且函数是奇函数，给出以下四个命题： ①函数是周期函数； ②函数的图象关于点对称； ③函数是偶函数； ④函数在上是单调函数． 在上述四个命题中，正确命题的序号是　 　(写出所有正确命题的序号) 【巩固练习】 1. (★★★) (多选)已知定义在上的函数满足条件且函数为奇函数，则(　　) 函数是周期函数 函数的图象关于点对称 函数为上的偶函数 函数为上的单调函数 2. (★★★) (多选)定义在 上的奇函数满足，且当时，，则(　　) A．满足 B．在上单调递减 C．的图象关于直线对称 D．的图像关于点对称 3. (★★★) (多选)定义在上的奇函数，满足且在上单调递减，，则(　　) A．函数图象关于直线对称 B．函数的周期为 C． D．设，和的图象所有交点横坐标之和为 4. (★★★★)定义在上的奇函数满足，且当时，，则函数的所有零点之和为 　 　． 1. (