预习篇 第9讲 平面向量的数量积 2024年高一寒假数学专题化复习与重点化预习 （人教A版2019）

贵哥讲高中数学 第9讲 平面向量的数量积 本讲义整体上难度中等偏上，题目有一定的分层，题量略大！ 1 概念 如果两个非零向量 ，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积(或内积)，记作:，即 2 投影  是非零向量，向量在向量上的投影：，它是一个实数，但不一定大于. 3 数量积的性质 设 是非零向量，它们的夹角是，是与方向相同的单位向量，则 (1) ， (2) 当与同向时，；当与反向时，. 特殊地，. 4 运算法则 对于向量 和实数，有 (1) (2) (3) ( 但是 不一定成立. 即向量的数量积满足交换律，分配率，但不满足结合律. 【题型1】 数量积的概念 【知识点解读】 如果两个非零向量 ，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积(或内积)，记作:，即 解释 (1) 如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功; (2) 规定：零向量与任一向量的数量积是; (3) 若，那我们说与垂直，记作； (4) 数量积是一个实数，不再是一个向量； (5) 注意确定向量的夹角，其中与的夹角，而与的夹角. 【典题1】在正三角形△ABC中，AB＝2，M，N分别为AB，AC的中点，则＝(　　) A． B． C． D． 【典题2】 已知，则与的夹角是 . 【巩固练习】 1. (★)若是边长为的等边三角形，则数量积 . 2. (★★)设单位向量与满足，则与的夹角为 . 【题型2】 数量积的性质 【知识点解读】 1 数量积的性质 设 是非零向量，它们的夹角是，是与方向相同的单位向量，则 (1) ， (2) ， (3) .( ) 2 运算法则 对于向量 和实数，有 (1) (2) (3) ( 但是 不一定成立. (当向量，不共线时，向量与向量肯定不共线，那怎么可能相等呢) 即向量的数量积满足交换律，分配率，但不满足结合律. 【典题1】 已知平面向量，，且与的夹角为． (1)求；(2)若与垂直，求的值． 【典题2】 已知平行四边形ABCD中，，AD＝2，∠ABC＝135°，若，，则λ＝(　　) A． B． C． D． 【巩固练习】 1. (★)已知向量满足，则 (　　) A．﹣1 B．2 C．15 D．19 2.(★★)已知向量满足的夹角为，则的值为(　　) A． B． C． D． 3. (★★) 已知非零向量满足，，若，则实数的值为(　　) A．9 B．10 C．11 D．－16 4. (★★)已知等边三角形ABC的边长为2，D，E分别是BC，AC的中点，则 (　　) A． B．﹣1 C． D．0 5. (★★★) 在△ABC中，AC＝2，AB＝3，∠A＝60°，点P是△ABC的重心，则＝(　　) A．7 B．8 C． D． 6. (★★★)已知向量a，b满足，则　 　． 7. (★★★)在三角形中，若，，，为边的三等分点，则 . 8. (★★★)设是的垂心，且，则的值为 . 9. (★★★)如图，已知△ABC的外接圆O的半径为4，． (1)求△ABC中AC边的长；(2)求． 【题型3】 向量的投影 【知识点解读】 1 投影  是非零向量，向量在向量上的投影：，它是一个实数，但不一定大于. 2 投影向量  是非零向量，向量在向量上的投影向量. 是与同向的单位向量. 【典题1】 已知，且与夹角，则在上的投影为 【典题2】已知，设的夹角为θ，当θ分别等于60°，135°时，求在上的投影向量，并图示其意义． 【巩固练习】 1. (★)若，则( ) A. B. C. D.向量在向量上的投影向量与向量在向量上的投影向量必相等 2. (★★)已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为( ) A.1 B. C. D. 3. (★)已知，则向量方向上的投影为__________． 4. (★★)已知为单位向量，且在方向上的投影为，则________． 【题型4】 与数量积有关的最值问题 【典题1】 已知动点是边长为的正方形的边上任意一点，是正方形的外接圆的一条动弦，且，则的取值范围是　　． 【典题2】 已知向量满足，则的取值范围为　 　． 【巩固练习】 1. (★★) 如图，ABCD是边长2的正方形，P为半圆弧BC上的动点(含端点)则的取值范围为(　　) A．[2，6] B．[2，3] C．[4，6] D．[4，8] 2. (★★★)如图，A