专题08 幂函数-2022年高一数学寒假作业精讲精练（新人教A版2019）

2022年高一数学寒假作业精讲精练（新人教A版） 专题08幂函数 考点及要求 通过具体实例,结合, , , ,图象,理解它们的变化规律,了解幂函数. 知识梳理 1.幂函数的定义 一般地,形如的函数称为幂函数,其中是自变量,是常数.如, ,等都是幂函数,幂函数与指数函数,对数函数一样,都是基本初等函数. 幂函数的几个特点: (1)以自变量为底的幂； (2)指数为常数； (3)自变量前的系数为1； (4)幂前的系数也为1. 特别的:也是幂函数,因为没有意义,所以要去掉点；而不是幂函数,是常数函数,定义域是. 2.幂函数的图象 取值范围不同,图象也不相同, 的正负: 时,图象过原点和,在第一象限的图象上升； 时,图象不过原点,在第一象限的图象下降,反之也成立. 注意判断幂函数的定义域的方法可概括为(对指数)"先看正负,是负去零,再看奇偶,是偶非负. 比如幂函数, ,等定义域分别为,,. 3.幂函数的性质 (1)所有的幂函数在都有定义,并且图象都通过点. (2)指数是偶数的幂函数是偶函数,指数是奇数的幂函数是奇函数 (3)： ①图象都经过点和. ②图象在第一象限,函数是增函数. ： ①图象都经过点； ②图象在第一象限是减函数； ③在第一象限内,图象向上与y轴无限接近,向右与x轴无限地接近. 定义域 R R R 值域 R R 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 奇函数 单调性 增函数 先减后增 增函数 增函数 单调递减 公共点 4.幂函数的运算 (1)两个重要公式 ①. ②(注意a必须使有意义). (2)有理数指数幂 ①幂的有关概念 a.正数的正分数指数幂: (, ,且). b.正数的负分数指数幂:(,且). c.0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 注:分数指数幂与根式可以互化,通常利用分数指数幂进行根式的运算. ②有理数指数幂的性质 ； ； . 微点提醒 1.在研究幂函数的性质时,通常将分式指数幂化为根式形式,负整指数幂化为分式形式再去进行讨论； 2.对于幂函数,我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性,由此确定图象的位置,即所在象限,其次确定曲线的类型,即和三种情况下曲线的基本形状,还要注意三个曲线的形状；对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆:"正抛负双,大竖小横",即时图象是抛物线型；时图象是双曲线型；时图象是竖直抛物线型；时图象是横卧抛物线型. 3.当为奇数时,幂函数为奇函数,当为偶数时,幂函数为偶函数.当其中互质,和),若p为奇数q为奇数时,则奇函数,若p为奇数,q为偶数时,则是偶函数,若p为偶数q为奇数时,则是非奇非偶函数. 强化训练 1．已知幂函数的图象过点，则等于（ ） A． B． C． D． 2．已知函数为幂函数，则（ ） A． B．1 C． D．2 3．已知幂函数是偶函数，则实数t的值为（ ） A．0 B．－1或1 C．1 D．0或1 4．下列函数中，在定义域内是偶函数的为（ ） A． B． C． D． 5．若幂函数与在第一象限内的图像如图所示，则（ ） A．； B．，； C．，； D．，． 6．若幂函数的图像经过点，则当时的函数值为（ ） A．16 B．2 C． D． 7．在下列函数中，定义域和值域不同的是（ ） A． B． C． D． 8．已知幂函数在上为增函数，则函数的零点所在的区间为（ ） A． B． C． D． 9．下列函数为幂函数的是（ ） A． B． C． D． 10．下列说法正确的是（ ） A．当时，的图象是一条直线 B．幂函数的图象都经过点， C．幂函数的图象不可能出现在第四象限 D．若幂函数在区间上单调递减，则 11．如果幂函数的图象过，下列说法正确的有（ ） A．且 B．是偶函数 C．是减函数 D．的值域为 12．已知函数为偶函数且在区间上单调递减，则实数m的值可以为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 13．若一个幂函数的图像过点，则该函数的表达式为______． 14．若，则使函数的定义域为R且图象关于原点成中心对称的所有的值为______． 15．若幂函数的图象经过点，则___________. 16．已知为幂函数，若，则___________. 17．已知，函数的图像关于原点对称，且与x轴、y轴均无交点，求m的值． 18．已知一个幂函数的图像经过点． （1）求该函数的表达式； （2）判断该函数的单调性． 19．已知幂函数为偶函数． （1）求的解析式； （2）若在，上，①单调，②不单调，这两个条件中选择一个条件，求实数的取值范围． 20．已知幂函数f（x）的图象过点（2，