第18讲 二次函数与三角形 2024年九年级寒假数学重难点专题复习（人教版）

贵哥讲初中数学 第二部分 综合篇之二次函数篇 第18讲 二次函数与三角形 本讲义整体上难度偏难，题目有一定的分层，题量略大！ 1 全等三角形的判定 ① 三边对应相等的两个三角形确全等（简称“边边边”或“”）； ② 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形确全等（简称“边角边”或“”）； ③ 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形确全等（简称“边角边”或“”）； ④ 两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形确全等（简称“角角边”或“”）； ⑤ 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简称“斜边直角边”或“”）. 2 相似三角形的判定 ① 三边成比例的两个三角形相似； ② 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似； ③ 两角分别相等的两个三角形相似. 3相似三角形的性质 ① 相似三角形对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比与周长比都等于相似比. ② 相似三角形的面积的比等于相似比的平方. 4 二次函数的图像和性质 （1）二次函数一般式的图像与性质 图像 开口方向 开口向上 开口向下 对称轴 顶点坐标 增减性 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而减小. 当时，随的增大而减小； 当时，随的增大而增大. 最值 当时，取到最小值 当时，取到最大值 系数，，的作用 （1）：决定抛物线的开口方向与大小； 当时，抛物线开口向上，当时，抛物线开口向下，越大，抛物线的开口越小. （2），同时决定抛物线的对称轴位置； （3）决定抛物线与轴的交点位置. 因为对于二次函数，当时，故抛物线必过轴上的点. （2）二次函数顶点式的图像与性质 ① 当时，开口向上；当时，抛物线开口向下； ② 对称轴； ③ 顶点坐标. 【题型1】 二次函数与等腰三角形和直角三角形 【典题1】 已知抛物线y＝ax2﹣4ax﹣5a与x轴交于A，B两点，P为抛物线顶点，且当x≤1时，y随x的增大而减小，若△ABP为等边三角形，则a的值为(　　) A． B． C．﹣ D． 【典题2】如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A(﹣3，0)，B(4，0)两点，与y轴交于点C，AC，BC．M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q． (1)求抛物线的表达式． (2)过点P作PN⊥BC，垂足为点N，设M点的坐标为M(m，0)，请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？ (3)试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【巩固练习】 1. (★★)在平面直角坐标系中，抛物线 (b＞0，b、c为常数)的顶点为A，与y轴交于点B，点B关于抛物线对称轴的对称点为C．若△ABC是等腰直角三角形，则BC的长为 　 　． 2. (★★)二次函数的图象如图所示，点A0位于坐标原点，A1，A2，A3，…，A2009在y轴的正半轴上，B1，B2，B3，…，B2009在二次函数第一象限的图象上，若△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△A2008B2009A2009都为等边三角形，计算出△A2008B2009A2009的边长为　 　． 3. (★★★)已知，抛物线y＝ax2+bx﹣5与x轴交于点A(5，0)，且过点(1，﹣8)． (1)求该抛物线的解析式； (2)求该抛物线的对称轴； (3)点P是该抛物线对称轴上一点，且△POA是等腰三角形，求出点P的坐标． 4. (★★★)如图，对称轴为直线x＝﹣1的抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)与x轴相交于A、B两点，其中点A的坐标为(﹣3，0)． (1)求点B的坐标； (2)已知a＝1，C为抛物线与y轴的交点． ①若点P在抛物线上，且S△POC＝4S△BOC，求点P的坐标； ②设点Q是抛物线对称轴上一动点，求使△QAC为直角三角形的点Q的坐标． 【题型2】 二次函数与全等三角形 【典题1】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A(-1，0)，B(2，0)两点，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的解析式； (2)直线y=-x+n与该抛物线在第四象限内交于点D，与线段BC交于点E，与x轴交于点F，且BE=4EC． ①求n的值； ②连接AC，CD，线段AC与线段DF交于点G，△AGF与△CGD是否全等？请说明理由； (3)直线y=m(m＞0)与该抛物线的交点为M，N(点M在点N的左侧)，点M关于y轴的对称点为点M'，点H的坐标为(1，0)．若四边形OM'NH的面积为．求点H到OM'的距离d的值． 【巩固练习】 1. (★★)如图，抛物线y